WisFaq!

Bewijzen van formules van kalender

1. F(1)+F(3)+F(5)+....+F(2n-1)=F(2n)
   
2. F(2)+F(4)+F(6)+....+F(2n)=F(2n-1)-1
   
3. (F(n))²+(F(n+1))²=F(2n+1)
   
4. F(n-1)·F(n+1)-(F(n))²=1 voor n:even
   
5. F(n-1)·F(n+1)-(F(n))²=-1 voor n:oneven
   
6. (F(1))²+(F(2))²+(F(3))²+....+(F(n))²=F(n)·f(n+1)
   
7. F(1)·F(2)+F(2)·F(3)+....+F(2n-1)·F(2n)=(F(2n))²
   
8. vind een formule voor de grootste gemene deler van F(n) en F(m) (voor de kan ik al geen formule vinden dus ook niet bewijzen)

Zie PO fibonacci

Na uren vannacht te hebben gekeken kom ik er nog steeds niet uit. Ik heb een PO en alle oefenopgaves heb ik gemaakt maar de eindopgave slaat echt alles. Ik heb normaal geen moeite met wiskunde maar ik zie gewoon niet in wat moet doen!

F(1)+F(3)+F(5)+....+F(2n-1)=F(2n)

Als ik hier F(2n-1) gelijkstel aan F(2n) kom je natuurlijk nooit uit. Maar wat 'betekent' die F(2n) dan? Naar mijn mening is het 'bewijzen' veel simpeler als je invult.
F(1) = 1
F(3) = 2
F(5) = 5
dus de oplossing is 1+2+5 = 8
Maar is n in dit geval 3 (F1, F3, F5 = 3) of wordt er bedoelt: f₁, f₂, f₃, f₄, f₅ dus n=5? Als ik dan n=3 neem, dan kom ik dmv. F(2n) wel aan F6 = 8. Dus daar heb ik mijn 8=8 oplossing, maar waarom staat er dan weer F(2n-1) in de formule?

Sorry voor de onduidelijkheid maar in mijn hoofd is het nog (ja kan ) rommeliger.

Misschien een concluderende vraag: 'Wat word je geacht te doen als je een gevraagde formule moet bewijzen?'

Ik heb alle eerdergestelde vragen bekeken; uren nagedacht en dingen verzonnen maar zelfs op PO fibonacci snap ik echt niet wat er bij de 1e vraag gebeurt. Hopelijk kunnen jullie me op weg helpen, want ik zie het somber in. mvg, en alvast heel erg bedankt!

vincent
8-2-2008

Antwoord

Als de nood het hoogst is is de redding nabij. Ik weet niet over welke kalender je het hebt, maar ik zal 's een poging doen om je een beetje op weg te helpen.

De rij van Fibonacci is een recursief gedefinieerde rij. Dat betekent dat je van die rij getallen het volgende getal in die rij kan vinden op grond van de bekende termen.

Dat ziet er dan zo uit:

F(n+2)=F(n+1)+F(n)
met F(1)=1 en F(2)=1

Dus de eerste term van die rij is 1 en de tweede term van die rij is ook 1 en elke volgende term kan je vinden door de twee voorafgaande termen op te tellen.

Je krijgt dan: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....

De rij van Fibonacci heeft allerlei leuke eigenschappen. Je noemt daar een aantal van op. De vraag is dan: hoe kan je dat soort 'wetmatigheden' bewijzen?

Zoals je gezien hebt op PO fibonacci kan dat soms heel direct. MBL laat (onder andere) zien waarom F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)=F(n+2)-1.

Als je goed kijkt wordt er daar gebruik gemaakt van F(n)=F(n+2)-F(n+1). Maar dat is eigenlijk de 'definitie'. In plaats van F(n)=F(n+2)-F(n+1) kan je ook schrijven F(n+2)=F(n+1)+F(n) en dat stond hier boven al.

Er staat dan dat als je de eerste n termen van de rij van Fibonacci optelt dit gelijk is aan het n+2-de Fibonacci getal min 1. Je moet (denk ik) goed lezen wat er precies staat. Er staat 'Als je wat hierboven staat nou optelt, zowel links als rechts van de = tekens....'



Links staat dan de som van eerste n termen van de rij van Fibonacci:

F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)

Rechts staat dan:

F(3)-F(2)+F(4)-F(3)+F(5)-F(4)+...

...en als je goed kijkt dan valt er een 'heleboel' tegen elkaar weg:



Sterker nog: bijna ALLES valt tegen elkaar weg, behalve dan -F(2) en F(n+2). De conclusie kan niet anders zijn dat:

F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)=F(n+2)-F(2)

Oftewel:

F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)=F(n+2)-1

Er geldt immers dan F(2)=1.

Wel aan: hoe mooi! Een 'wetmatigheid' bewezen! Dus om iets te bewijzen gebruik je de 'definitie' of stellingen die je bewezen hebt.

Hopelijk heb je er iets aan...

Zie ook: Overzicht van verschillende soorten bewijzen en bijvoorbeeld Volledige inductie en nog veel meer als je zoekt in WisFaq.

WvR
9-2-2008