WisFaq!

Re: Priemgetallen in de driehoek van Pascal

ik snap dat je de getallen in de driehoek van pascal kan schrijven m.b.v. faculteiten
en dat als het eerste getal in de rij een priemgetal is dan moet n ook een priemgetal zijn.
ik heb geprobeerd voor verschillende k's en er komt altijd een getal uit dat deelbaar is door n.
maar hoe is dit te bewijzen??
en is dit een goed bewijs waarom alleen priemgetallen voorkomen op de 1e en de 1na laatste plaats??

Remi
7-2-2008

Antwoord

Remi,
Voor (n boven k) gebruik ik even de notatie C(n,k).
Voor alle n geldt C(n,0)=C(n,n)=1.
Neem nu eens n=7.
C(n,1)=7!/(1!6!)=(7.6.5.5.4.3.2.1)/(1.6.5.4.3.2.1)=7/1
C(n,2)=7!/(2!5!)=(7.6.5.5.4.3.2.1)/(1.2.5.4.3.2.1)=7.6/(1.2)
C(n,3)=...........................................=7.6.5/(1.2.3)
Verder hoeven we niet te gaan want als kn/2 dan komen dezelde termen weer terug.
Neem nu eens een groot priemgetal n.
Tot en met k=1/2n krijg je dan de volgende getallen
C(n,0)=1
C(n,1)=n/1=n
C(n,2)=n(n-1)/(1.2)
C(n,3)=n(n-1)(n-2)/(1.2.3)
C(n,4)=n(n-1)(n-2)(n-3)/(1.2.3.4)
etc.etc
met als laatste:
C(n,(n-1)/2)=n(n-1)....(n+3)/2)/(1.2.3......(n-1)/2) (want n is oneven)
Kun je nu de laatste stap in de gedachtengang formuleren?

hk
7-2-2008