WisFaq!

Niet lineaire differentiaalvergelijking

Beste Wisfaq,

Ik zit met het volgende probleem. Ik moet oplossen de differentiaalvergelijking

3(1+y²)/(y')² waarbij y=y(x) en y(0)=0

Wat ik tot nu toe heb gedaan is aan de hand van een enkel voorbeeld (maar ik weet niet of dat voorbeeld hier ook kon worden toegepast).

Allereerst: stel 1+y² = z. Dan geldt dat z $>$0 voor alle x$>$0 en de vergelijking kan worden geschreven als:

3z/(z')² = k

Het probleem is dat als ik deze vergelijking nu ga oplossen voor z' (en daarna scheiding van variabelen toepas) er twee antwoorden uitkomen omdat je een +/- wortel krijgt. In het voorbeeld dat ik tot mijn beschikking heb zoekt men dan ook niet naar een expliciete uitdrukking voor z(x) maar in plaats daarvan probeert men een parametervoorstelling (x(t) z(t)) te verkrijgen. Toegepast op dit probleem gaat dat als volgt:

Laat z' = dz/dx = t$^{\frac{1}{2}}$

Dan volgt dat z(x(t)) = (k/3) t

Nu proberen we x(t) te vinden. Bepaal daartoe

d/dt (z(x(t))) = k/3 (volgt uit het bovenstaande)

aan de andere kant

d/dt (z(x(t))) = dz/dx · dx/dt = t$^{\frac{1}{2}}$ · dx/dt

De twee uitdrukkingen aan elkaar gelijkstellen geeft nu

dx/dt = (k/3)t$^{-\frac{1}{2}}$ Þ x-x₀ = (k/6)t$^{\frac{1}{2}}$

x(0) = 0 Þ x(t)= (k/6)t$^{\frac{1}{2}}$

Dus de gezochte curve wordt gegeven door:

x(t) = (k/6)t$^{\frac{1}{2}}$
y(t) = ((k/3)t - 1)$^{\frac{1}{2}}$

Problemen waar ik nu tegen aanloop: de curve gaat niet door (0,0). Ten tweede vraag ik me af of een andere keuze voor de parameter (in het begin kozen we z(t)=t¹/2) niet tot een ander antwoord leidt.

Bij voorbaat dank,

Herman

Herman de Vries
6-2-2008

Antwoord

Ik neem aan dat de oorspronkelijke vergelijking ook eindigt met =k.
Je omschrijving klopt niet: als z=1+y² dan geldt z'=2y·y' of y'=z'/(2y) en dan (y')²=(z')²/(4y²)=(z')²/(4(z-1)). Je DV wordt dan 12z(z-1)/(z')²=k.
Je kunt beter de DV eerst wat omwerken: k(y')²=3(1+y²) of y'=a·√(1+y²), waarbij a gelijk is aan plus-of-min de wortel uit 3/k. Deze kun je met scheiden van variabelen oplossen: ln(y+√(1+y²))=ax+c of y=sinh(ax+c).

kphart
7-2-2008