WisFaq!

Kansverdeling van het product van twee normaal verdeelde stochasten

Ik zit met een probleem, hierbij moet ik een de kansverdeling vinden van het product van twee normaal verdeelde stochasten. Het volledige probleem is:

L = Ö(X² + Y²), met X~N(E1,VAR2) en Y~N(E1,VAR2) waarbij geldt dat X onaf van Y.

Het iefst wil ik de verdeling van L vinden, maar de verwachtingswaarde is ook goed. (het probleem mag gereduceerd worden tot: E1=E2=0 en VAR1=VAR2)

Wat ik al heb gevonden en bewezen is dat: X+Y~N(E1+E2,VAR1+VAR2), in hoeverre dit handig is voor dit probleem is mij niet bekend.

Chris
6-2-2008

Antwoord

Chris,
Als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn met parameters 0 en s, heeft Z=X²+Y²een c²-verdeling met dichtheid q(z)=0 voor z0 en
q(z)=1/(2s²)exp(-z/2s²) voor z0.Nu is L=ÖZ.Hieruit volgt de verdelingsfunctie F(.) van L,n.l.F(l)= 1-exp(-l²/2s²),zodat de
E(L)=ò(1-F(l)dl, l van 0 naar ¥.

kn
6-2-2008