WisFaq!

Caleytafel

Beste Wisfaq'ers,

ik zit met een probleempje in verband met het onderdeel 'Structuren'. Dit is hetgeen ik over spreek:

Vier stoelen staan rondom een rode tafel en zijn genummerd in wijzerzin, 1, 2, 3, 4. Twee stoelen 2 en 3 samenstellen tot 2*3 (* = inwendige bewerking), betekent het nummer zoeken van de stoel die je krijgt door, vertrekkend van stoel 2 en om de tafel lopend in wijzerzin, stil te staan bij de derde daaropvolgende stoel. Je ziet dan dat 2*3 = 1. Stel een Cayleytafel op bewijs dat (1,2,3,4) een commutatieve groep is.

Wat ik al heb is de Caleytafel:

*| 1 2 3 4
-----------
1| 2 3 4 1
2| 3 4 1 2
3| 4 1 2 3
4| 1 2 3 4

Nu ik ken ook de eigenschappen waaraan een commutatieve groep moet voldoen:

- Neutraal element
- Symmetrisch element
- Associativiteit
- Overal gedefinieerd
- Commutativiteit

Ik zit echter met het probleem dat ik deze eigenschappen voor dat geordende n-tal ook moet bewijzen, maar ik heb echt geen idee hoe ik daaraan moet beginnen. De voorschriften heb ik denk ik, maar het lijkt me vrij moeilijk om aan de hand van die zaken, vooral * stribbelt tegen, dit op te lossen.

Hulp wordt ten zeerste geapprecieerd!

Nagare

Nagare
26-1-2008

Antwoord

Het ontgaat me enigszins wat nou precies je probleem is. In je vraag spreek je over een n-tal, maar we hebben het toch over een 4-tal, lijkt me.
Om aan te tonen dat de door jou gemaakte tabel bij een Abelse groep hoort, dien je mijns inziens niets anders te doen dan de diverse eisen te verifiëren.

Wel, er is een eenheidselement, namelijk 4. Je tabel laat immers zien dat bijv. 2*4 = 2 en 1*4 = 4 en 4*4 = 4 enz.

De term 'symmetrisch element' is me onbekend, maar ik vermoed dat het neerkomt op een symmetrische tabel. Welnu, dat is de tabel overduidelijk. Trek in gedachten maar de diagonaal van linksboven naar rechtsonder.

Lastig is vaak de associativiteit. Strikt genomen zou je alle denkbare combinaties dienen te verifiëren, maar doorgaans doe je dat met een klein aantal. Je moet dus nagaan of bijv. 2*(3*1) = (2*3)*1. Raadplegen van de tabel leert je dat 2*(3*1) = 2*4 = 2 en dat (2*3)*1 = 1*1 = 2. Gelijke resultaten dus. Pak er zo nog een paar en heb dan verder veel vertrouwen!

De laatste twee eisen zijn helder.

MBL

MBL
26-1-2008