WisFaq!

Re: Orthonormale basis

Beste wisfaq,
daar ben ik weer.
tot nu toe was ik alleen op de hoogte van een 'normale' diagonalisatie. A=P*D*P^-1, waarbij P een inverse matrix voorstelt en D een diagonale matrix.
P wordt berekend door:
1) de eigenwaarden van A te bepalen;
2)de onafhankelijke eigenvectoren van A bepalen
3)de unitvectoren van de eigenvectoren te berekenen
en om het nog ingewikkelder te maken moet op de juiste volgorde van de eigenwaarden in de gaten gehouden worden.

adhv een voorbeeld wil ik achterhalen hoe ik dus orthogonale diagonalisering moet oplossen.
1) de eigenwaarden van A te bepalen;
2) orthonormale basis vinden
3) de basis voor de eigenruimte + het vervangen van één
van deze door de orthogonale basis levert uiteindelijk P

aanvullende gegeven op eerdere som:
l=10, de basis voor deze waarde is (-2,2,1)

De orthogonale matrix P wordt dan:
1 -4 -2
0 -5 2
2 2 1
(2e vector is 5*v2)

waarbij de eerste en derde vector gewoon de bases zijn voor de eigen ruimte, en de 2e vector is de orthonormale vector.
kan ik ook i.p.v.de 2e vector ook de 1e vector als orthonormaal nemen? en zo ja is de volgende redenering juist?:
av1+v2=(a+1,1,2a), v2 loodrecht hierop levert:
(a+1)+1+0®a=-2

kan ik zowel de 1e als de 2e vector orthonormaal nemen voor P?

oef... dat is een lap tekst zeg, hopelijk is het wel overzichtelijk en duidelijk wat mijn vragen zijn...

alvast bedankt voor de moeite!

mvg,

Carlos

carlos
21-1-2008

Antwoord

Beste Carlos,

Het antwoord is: Ja.

Je hebt een symmetrische matrix en zoekt een orthonormale basis van eigenvectoren. Bij zo'n matrix staan eigenvectoren met een verschillende eigenwaarde automatisch loodrecht op elkaar.

Maar in jou geval komt de eigenwaarde 1 twee keer voor. De eigenvectoren die je erbij vindt staan wel loodrecht op de andere eigenvector, maar niet op elkaar. Je kunt een willekeurige combinatie van die twee kiezen (dus niet alleen de één of de ander) en vervolgens een tweede maken die daar loodrecht op staat.

Als je wilt weten of je een berekening goed gedaan hebt moet je even de hele berekening opschrijven en niet verwijzen naar vorige opgaven.

Overigens is de basis die je nu gemaakt hebt niet orthonormaal maar slechts orthogonaal. Bij een orthogonale basis staan de basisvectoren loodrecht op elkaar. Bij een orthonormale basis hebben ze ook allemaal lengte 1. Daar moet je nog voor zorgen.

groet. oscar

os
27-1-2008