WisFaq!

Differentiaal vergelijking, seperabel, lineair of exact?

geachte heer/ mevrouw,
ik moet de volgende differentiaal vergelijking oplossen: y'= 2(cos(x)/sin(x))*y +cos(x) via welke methode kan ik deze oplossen? Ik zie niet hoe ik hem seperabel kan maken. ook lukt het niet de methoden voor exacte en lineaire DV's toe te passen. hoe kan ik deze DV oplossen?

Bij voorbaat dank

Bart Lemcke

Bart Lemcke
17-1-2008

Antwoord

Bij differentiaalvergelijking moet je altijd eerst de homogene vergelijking oplossen. Dit wil zeggen elke term zonder y of een afgeleide ervan verwerp je. Dit geeft dus

y' = 2 (cos(x)/sin(x))y

Als we nu inzien dat dy/dt dt = dy, dan geldt er na enige algebra

òdy/y = 2ò cos(x)/ sin(x) dx = ln y = 2 ln (sin(x)) + c(= een integratieconstante)

Dit geeft dus y = y0*sin²(x) met y0 = e^c. Dit is dus de oplossing voor de homogene vergelijking. Nu stellen we voor de volledige vergelijking y0 niet langer constant maar gelijk aan een nader te bepalen functie f(x)

y(x) = f(x)*sin²(x)
dy/dx = df/dx*sin²(x)+2sin(x)*cos(x)*f(x) = df/dx*sin²(x) +2cos(x)/sin(x)*y(x)

Dit is nu gelijk aan 2cos(x)/sin(x)*y(x) + cos(x) in de algemene vergelijking. Hieruit halen we dus dat

df/dx*sin²(x) = cos(x) Þ df/dx = cos(x)/sin²(x) Þ f - f0= òcos(x)/sin²(x)dx. (f0 is een integratieconstante)

Dit lossen we net als de integraal hierboven op door sin(x) = z te substitueren. Dit geeft dan

f = f0 + òdz/z² = f0-1/z = f0-1/sin(x) Þ y(x) = f(x)*sin²(x) = f0*sin²(x)-sin(x)

De totale oplossing is dus de som van van de oplossing van de algemene en de homogene vergelijking. Er geldt dus als oplossing

y(x) = sin²(x)*(f0+y0)-sin(x) = y1*sin²(x) - sin(x) met y1 = y0 + f0
y1 valt nu te bepalen uit begin- en/of randvoorwaarden.

PS Gewone DV's, die dus functie's behandelen die van 1 variabele afhangen, moet je niet meer separeren.

FvS
18-1-2008