WisFaq!

Convergeert deze som?

Het betreft de som van n=2 naar oneindig van (n+2)/(n⁴+3).

Ik ben geneigd om te zeggen dat deze lijkt op 1/n³, die convergent is(om het kort door de bocht te zeggen).Volgens mij is op den duur elke term van de eerste rij kleiner dan die van de vergelijkende rij en dus ben je er.

Of moet ik nu nog de limiet van n gaat naar oneindig van de eerste rij/tweede rij uit gaan rekenen? Dan zegt een stelling dat als deze limiet bestaat (die bestaat en is 1) en de vergelijkende rij is convergent, de oorspronkelijke rij ook convergent is.

Dus mijn vraag is: ben ik er alleen met het vergelijkingscriterium of niet?

Maakt het uit dat de som bij n=2 begint? Volgens mij niet want je kijkt naar de staart van de rij.

Helma
16-1-2008

Antwoord

Als je wil bepalen wat of een reeks convergeert, moet je eigenlijk gewoon een paar regels toepassen. De handigste regel vind ik persoonlijk de convergentieregels van d'Alembert en Raabe.

Hierbij ga je gewoon de n+1-ste term delen door de n-de term. Hiervan neem je de limiet naar oneindig. Dit geeft dus:

lim (n-$>\infty$) ((n+1)+2)·(n⁴+3)/((n+1)⁴+3)/(n+2) = lim (n-$>\infty$) (n⁵+3n⁴+3n+9)/(n⁵+6n⁴+14n³+16n²+12n+8)= 1

Hierbij hebben we de regel van de l'Hospital meermaals toegepast. Maar je kan dit ook beredeneren. Als je de teller en noemer uitschrijft krijg je twee 5e-graads veeltermen met dezelfde coëfficiënt bij de hoogste-graadsterm. Dit geeft telkens $\infty$/$\infty$ en na telkens de l'Hospital 120/120 = 1.

Als de limiet groter dan 1 is divergeert de rij. Als de limiet kleiner dan 1 is convergeert hij. Als ze gelijk aan één is moeten we nog verder werken. Nu moeten we de n-de term delen door de n+1-ste term. Hier trekken we 1 af en dit vermenigvuldigen we met n. Hiervan bepalen we weer de limiet naar oneindig.

lim (n-$>\infty$) n·((n+2)·((n+1)⁴+3)/(n⁴+3)/(n+3)-1)
= lim (n-$>\infty$) (3n⁵+14n⁴+16n³+9n²-n)/(n⁵+3n⁴+3n+9) = 3

Ook hier hebben we herhaaldelijk de l'Hospital toegepast. Als de uitkomst van deze limier groter dan één is convergeert ze en als ze kleiner is dan 1, divergeert ze naar +$\infty$.

In dit geval convergeert de reeks dus.

P.S.: Je gebruikt trouwens de verkeerde terminologie - rij ipv reeks, wat verwarrend kan zijn. Een reële rij beeldt immers gewoon een natuurlijk getal n af op een reëel getal. Deze ordent men meestal met eerst de afbeelding op 1, dan de afbeelding op 2 etc. Een partieelsom s_n is de som van de eerste n getallen van de rij. Een reeks is de rij van partieelsommen. Dit heeft dus een ander gedrag op oneindig, met hier toch hetzelfde resultaat.

FvS
17-1-2008