WisFaq!

Cauchy produkt

Het gaat over power series in powers of x (de nederlandse vertaling weet ik niet zo goed).
Dat is de som van n=0 naar oneindig van an(x-c)ⁿ =a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)+...
In mijn opgave is dit de vraag: Bepaal het Cauchy product van de series 1+x²+x³+... en 1-x+x²-x³+.... Op welk interval en naar welke functie convergeert de product series?

Wanneer je deze twee functie vermenigvuldigt mag je de eigenschap gebruiken dat de termen van de product series gelijk zijn aan de som van j=0 naar oneindig van aj.bn-j. Dus de jde term van de eerste term moet vermenigvuldigd worden met de n-jde term van de tweede rij.
De termen van de eerste rij zijn allemaal 1 en de termen van de tweede rij (-1)ⁿ. Maar wat wordt nu het product?

Helma
15-1-2008

Antwoord

Helma,
Het gaat ongeveer als volgt.Neem a(n)=x^n,n=0,1,2,...en b(n)=(-x)^n,en
c(n)=åa(k)b(n-k),k=0,1,..,n.Dan is c(n)=x^n/2{1-(-1)^(n+1)}.Dan is
åc(n)=1+x²+x⁴+...= 1/(1-x²),voor |x|1.Dit klopt ook omdat
åa(n)=1/(1-x) en åb(n)=1/(1+x,beide voor |x|1.En de Cauchy rij heet dan als uitkomst het product van de uitkomsten van de twee afzonderlijke rijen.

kn
15-1-2008