WisFaq!

Drie gebeurtenissen

Gegeven zijn drie gebeurtenissen: A, B en C. Indien A en B optreden, dan treedt C ook op, indien A niet optreedt dan treedt C ook niet op, en indien B niet optreedt dan treedt C op met een kans 1/2. Verder is gegeven P(A)=1/2, P(B)=1/4 en P(A|B)=1/3.

Vraag:

1. Zijn A en B onafhankelijke gebeurtenissen?
2. Bereken de kans A$\cup$B
3. Bereken de voorwaardelijke kans P(B|A).
4. Bereken de kans C.

De antwoorden die ik gevonden heb zijn als volgt:

1. A is onafhankelijk van B als: P(A|B)=P(A)
   1/3$ \ne $1/2, dus zijn A en B niet onafhankelijk
2. P(A$\cup$B)=P(A)+P(B)-P(A$\cap$B)
   P(A$\cap$B)=P(A|B)·P(B)=1/3·1/4=1/12
   P(A$\cup$B)=1/2+1/4- 1/12=2/3
3. P(B|A)·P(A)=P(A$\cap$B)
   P(B|A)=¹/₁₂/¹/₂ = ¹/₆
4. P(C|B niet) = ¹/₂
   P(C|A niet) = 0

Ik neem aan dat ik moet berekenen: P(A$\cap$B$\cap$C) maar ik weet geen van de kansen die ik daar voor nodig heb. Wat doe ik verkeerd?

Nicole
13-1-2008

Antwoord

Dag Nicole,

Je berekeningen lijken me correct. Voor oefening d), de kans op C, kan je als volgt werken:

P(C)
= P(C|A en B) · P(A$\cap$B)
+ P(C|wel A, niet B) · P(A$\cap$(niet B))
+ P(C|niet A, wel B) · P((niet A)$\cap$B)
+ P(C|niet A, niet B) · P((niet A)$\cap$(niet B)).

En nu ken je, dankzij je gegevens en de oplossingen van a) b) en c), genoeg van die kansen om dit uit te rekenen. Dezelfde volgorde als bovenstaande regel respecterend kom ik dan uit op: (kijk na of je aan al deze getallen kan raken)
P(C)
= 1 · 1/12
+ ¹/₂ · (2/3-1/4)
+ 0 · (niet nodig)
+ 0 · (1-¹/₃ maar eigenlijk ook niet nodig)
= 7/24.

Overigens kan je deze oefening ook vrij eenvoudig oplossen door gebruik te maken van een venndiagram, je hebt daarin acht gebieden (vergeet het buitengebied niet), en je kan de gegevens makkelijk vertalen naar gelijkheden over de kansen dat je in een bepaald gebied zit... Maar gewoon met de formules van voorwaardelijke kans en kans op unie en zo, is natuurlijk net zo goed.

Groeten,
Christophe.

Christophe
14-1-2008