WisFaq!

Oppervlakte spiraal

Er is een gebied D. D wordt gegeven door: x = r cos(t), y = r sin(t) en z = t. Waarbij geldt: 0 t 2p en 0 r 1. Ik weet dat D eruit ziet als een spiraal, ik heb alleen geen flauw idee hoe ik de oppervlakte moet gaan berekenen.

Bas Greveling
13-1-2008

Antwoord

Het berekenen van een oppervlakte moet via een oppervlakte-integraal en dat is absoluut geen sinecure. Deze integraal is in het algemeen

òò|¶f/¶t x ¶f/¶r| dr dt over het oppervlak.

Hierbij is f de vectoriële parametervoorstelling van het oppervlak. In dit geval is dit dus f = (r cos(t), r sin(t), t).
¶f/¶t is de partiële afgeleide naar t en dit geeft
¶f/¶t = (-r sin(t), r cos(t), 1)
¶f/¶r is de partiële afgeleide naar r en dit geeft
¶f/¶r = (cos(t), sin(t), 0)
¶f/¶t x ¶f/¶r is het vectorieel product van beide functies en geeft ¶f/¶t x ¶f/¶r = (sin(t), -cos(t), r)
|¶f/¶t x ¶f/¶r| is de lengte van deze vector en ditgeeft dan weer |¶f/¶t x ¶f/¶r| = Ö(r^2+1)

Nu kunnen we eindelijk beginnen integreren. We stoppen dit in de integraal en dit geeft

òdr Ö(r^2+1) òdt

De integraal over t geeft gewoon t aangezien het argument er niet van afhankelijk is. Tussen de grenzen 0 en 2p geeft dit triviaal 2p. De integraal wordt dus het volgende

2pòdr Ö(r^2+1)

Dit lossen we verder op met hyperbolische functies.

r = sinh(x) = dr = cosh(x) dx en Ö(r^2+1) = cosh(x)

Nu is de integraal dus het volgende

2pòdx (cosh(x))^2

Hierbij is (cosh(x))^2 = (cosh(2x)+1)/2. Verder volgt dus

2pòdx (cosh(2x)+1)/2 = 2p(sinh(2x)/4 + x/2) = p(sinh(x)cosh(x)+x)

Hierbij werd rekening gehouden met sinh(2x) = 2 sinh(x)cosh(x). Nu substitueren we terug r in de formule
= p(r*Ö(r^2+1) + argsinh(r)) = p(r*Ö(r^2+1) + ln(r+Ö(r^2+1))

Met argsinh(r) = ln(r+Ö(r^2+1)). Dit moeten we nu evalueren tussen nul en 1. Dit geeft dus
= p(1*Ö(1^2+1) + ln(1+Ö(1^2+1) - 0*Ö(0^2+1) + ln(0+Ö(0^2+1))) = p(Ö2 + ln(1+Ö2) 7.21179788.

FvS
13-1-2008