WisFaq!

Limiet naar 0

Graag wat hulp bij het berekenen van volgende oefening:

lim x -- 0 (tgx -sinx) / x³

mvg,

SB

Sara Braet
13-1-2008

Antwoord

Als je de limiet gewoon berekent krijg je (tg 0 - sin 0) / 0³ = 0/0
Dit geeft dus iets typisch dat we kunnen verwerken met de regel van de l'Hospital. Deze geeft in dit geval

lim x-0 f(x)/g(x) = 0/0 = lim x-0 f(x)/g(x) = lim x-0 (df/dx)/(dg/dx)

Passen we dit toe dan krijgen we het volgende. De afgeleide van de teller is 1/(cos x)^2 - cos x.

De afgeleide van de noemer is 3 x^2. Vullen we nu weer 0 in krijgen we (1-1)/0. Dit is dus hetzelfde resultaat en we moeten dus opnieuw de l'Hospital toepassen

De tweede afgeleide van de teller is 2 (sin x)/((cos x)^3) + sin x.

De tweede afgeleide van de teller is 6x. Weer krijgen we 0/0. Als we nu een laatste keer de regel toepassen krijgen we voor de teller

2/((cos x)^2) + cos(x) + ((sin x)^2)/((cos x)^4)

De teller geeft gewoon 6. Als we nu nul invullen krijgen we (2+1+0)/6 = 1/2.
Wat meteen ook het resultaat is.

FvS
13-1-2008