WisFaq!

Tesseract leren visualiseren

Ik ben me aan het verdiepen in de vierde dimensie. Ik begreep dat een punt de nulde dimensie is. Als je deze verdubbelt naast elkaar en ze met elkaar verbindt dan krijg je een lijn, de eerste dimensie. Als je deze lijn verdubbelt en ze met elkaar verbindt dan krijg je een vierkant, de tweede dimensie. Als je deze verdubbelt en de corresponderende hoekpunten met elkaar verbindt dan krijg je een kubus, de derde dimensie. Je krijgt de vierde (ruimtelijk) dimensie als je deze kubus verdubbelt en de corresponderende hoekpunten verbinden. Het resultaat is een vierdimensionale hyperkubus, ook wel tesseract genoemd. Deze bestaat uit 8 kubussen. Zo ziet ook de uitslag eruit. Ik ehb op wikipedia 3-D voorstellingen gezien maar het kan er bij mij niet in, hoe ik nu deze tesseract moet voostellen. Natuurlijk kunnen wij mensen ons geen vierde dimensie inbeelden, maar kunt u wat handvaten geven om het een beetje inzichtelijk te maken... en is er een verband tussen de elementen die vermeervoudigd worden als je een dimensie hoger gaat. Hiermee bedoel ik:
1 punt - nulde dimensie
2 punten (lijn) - 1e dimensie
4 punten/4 lijnen/1 vlak - 2e dimensie
8 punten/12 lijnen/ribben/6 vlakken/1 kubus - 3e dimensie

hoe zit dit met de 4e dimensie als je dit lijstje voorzet???

Alex
7-1-2008

Antwoord

Dag Alex,

Allereerst de visualisatie: als je twee even grote kubussen naast elkaar zet, wordt het inderdaad onoverzichtelijk welke lijnen je moet verbinden. Maar je kan het makkelijker maken: beeld je een kubus in, en daarbinnenin een kleinere kubus (maar wel concentrisch geplaatst). Verbind dan de hoekpunten die, vanuit het centrum gezien, in elkaars verlengde liggen. Om een figuur te zien: doe eens Google Afbeeldingen zoeken op "tesseract", dan zie je meteen wat ik bedoel. Je komt dan bijvoorbeeld deze link tegen met een duidelijke figuur. Op de mathworld en andere sites staan enkele bewegende beelden, die mij onduidelijker overkomen...

Dan de telvraag: een manier om de aantallen te tellen is, om coördinaten in te voeren.

In één dimensie kan je je twee punten 0 en 1 noemen.
In twee dimensies heb je vier punten, dat zijn dan tweetallen: (0,0), (0,1), (1,0) en (1,1).
In drie dimensies zit je met acht drietallen.
In vier dimensies heb je zestien punten, dat zijn zestien viertallen.

Nu, wanneer liggen twee punten op dezelfde lijn? Dat is als ze op juist één positie in hun coördinaten verschillen. Bijvoorbeeld in vier dimensies liggen (1,0,1,1) en (1,0,0,1) op één lijn. Hoe tel je dan het aantal lijnen? Wel, elk punt ligt op vier lijnen (kan je meetkundig zien, ofwel ook met de coördinaten: je hebt vier posities die je kan veranderen: van (1,0,1,1) kan je de eerste coörd veranderen om in (0,0,1,1) terecht te komen, enzovoort). Maar op die manier tel je elke rechte dubbel, want er liggen twee punt op elke rechte. Dus je besluit dat er 16*4/2=32 rechten zijn.

Het tellen van de vlakken is iets moeilijker op deze manier... Laten we dat eens anders doen, meetkundig: denk aan de manier waarop je de tesseract maakt uit twee kubussen. In je ene kubus liggen duidelijk zes vlakken, in je andere ook. Door het verbinden van beide kubussen komen er nog vlakken tevoorschijn: je verbindt een lijn in de ene kubus met de overeenstemmende lijn in de andere kubus en je krijgt zo een vlak. Dus dit geeft je nog eens 12 extra vlakken. 6+6+12=24 vlakken.

Het tellen van de kubussen kan op dezelfde manier, je komt op 1+1+6 (vanwege de zes vlakken van de ene kubus die je verbindt met de zes overeenkomende vlakken van de andere kubus). Dezelfde telmethode toegepast op het aantal lijnen in de tesseract geeft 12 (lijnen in de ene kubus) + 12 (lijnen in de andere kubus) + 8 (verbinden van een punt in de ene met een punt in de andere kubus), dus dat geeft inderdaad 32.

En dit geeft je ook een algemene methode, voor wil je eventueel hogere dimensies aanpakken: het aantal objecten van dimensie m in een n-dimensionale kubus, is gelijk aan tweemaal het aantal objecten van deze dimensie m in een n-1-dimensionale kubus, plus het aantal objecten van dimensie m-1 in een n-1-dimensionale kubus. Bijvoorbeeld, voor n=4 en m=2 betekent dit:
Het aantal vlakken in een tesseract, is gelijk aan tweemaal het aantal vlakken in een kubus, plus het aantal lijnen in een kubus, dus is gelijk aan 2*6+12=24.

Ga na dat deze rekenwijze inderdaad het schema geeft voor de eerste drie dimensies dat je zelf ook al opgaf... Je kan er zelfs een Pascal-driehoek van maken, waarbij elk getal de som is van zijn linkerbovenbuur en twee keer zijn rechterbovenbuur, zo krijg je
1
2 1
4 4 1
8 12 6 1
16 32 24 8 1
...

Dus dat met die coördinaten was toch niet de meest logische oplossingsmethode

Groeten,
Christophe.

Christophe
8-1-2008