WisFaq!

Re: Afgeleide van stapfunctie

maar hoe noteer je dan deze afgeleide want ik moet het met een differentiaalvergelijking oplossen en bewijzen dat: y(1)(t)+2y(t)=u(t) i$\in$$\mathbf{R}$
als u(t)=$\Delta$(t). De oplossingen y₁(t)=e^-2t·stap(t) & y₂(t)=-e^-2t·stap(-t)

En de tweede vraag is: schrijf y₁(t)-y₂(t)? en voor welke homologe diff. vergelijkibng is deze functie een oplossing

Piet
3-1-2008

Antwoord

Om een algemene lineaire differentiaalvergelijking op te lossen, kan je best altijd eerste de homogene vergelijking oplossen, i.e. y(1)(t) + 2y(t) = 0

y(1)(t) = dy/dt(t) = -2y(t)
dy/y = -2dt

Dit integreren we van y = y(t=0)= y₀ tot y=y(t) en we krijgen

ln(y/y₀) = -2t

Dit kunnen we omvormen na wat algebra tot

y = y₀·e^-2t (dit is de oplossing van de homogene vergelijking)

om de algemene vergelijking op te lossen, stellen we y₀ niet langer constant maar nemen we hiervoor een (nog verder te bepalen) functie g(t)

y(t)=g(t)·e^-2t

nu geldt volgens de kettingregel dan dat
y(1)(t) = g(1)(t)·e^-2t-2·g(t)·e^-2t

we stoppen dit in de vergelijking, dan krijgen we

e^-2t·(g(1)(t)-2g(t) + 2g(t)) = u(t)

hieruit volgt

g(1)(t) = u(t)·e^(+2t)

om g(t) te bepalen, moeten we dit enkel nog integreren
$\int{}$g(1)(t) = g(t) = $\int{}\delta$(t)·e^(+2t)dt
met de grenzen van -$\infty$ tot t, als t $>$ 0 geldt dat de piek van de dirac-distributie in het integratie-interval zit en dus dat de waarde t=0 er uit wordt genomen dus g = e^(2·0) = 1
als t$<$0 is de dirac-distributie overal in het integratie-interval nul en dus ook g(t)
$\Rightarrow$ g(t) = 1 (t$>$0) en 0 (t$<$0) $\Rightarrow$ g(t) = $\theta$(t)

$\Rightarrow$ y(t) = $\theta$(t)·e^(-2·t)

je kunt echter ook van t naar +$\infty$ integreren. ook hier zijn er twee gevallen. als t$>$0 geldt dat de piek niet in het integratie-interval zit en ds net als hierboven geldt g(t) = 0.
als t$<$0 geldt dat de piek er wel in zit en kunnen we dit oplossen. eerst vervangen we t door -t, dus dt wordt -dt en $\delta$(t) wordt $\delta$(-t)=$\delta$(t).
$\int{}\delta$(t)e^(2·t) dt (van t tot +$\infty$) wordt $\int{}\delta$(t)e^(2·t) dt (van -t tot -$\infty$) of -$\int{}\delta$(t)e^(2·t) dt (van -$\infty$ tot -t). na al deze manipulatie staat de integraal eindelijk in de juiste vorm en kunnen we t=0 stellen. dit alles moet zo omdat anders de waarde t=0 er niet zoaar maar uit worden geplukt. het integratie-interval moet immers gaan van -$\infty$ naar een andere waarde.

eindelijk bekomen we dus g = -1 als we t=0 stellen.
dus g = -1 (t$<$0) en 0(t$>$0) $\Rightarrow$ g(t)=-$\theta$(-t)

welke van de twee oplossingen nu de juiste is, hangt af van de beginwaarden van het probleem.

Voor het tweede punt van je vraag geldt y₁(t)-y₂(t) = e^-2t·($\theta$(t)-(-$\theta$(-t))). Als t$<$0 geeft de eerste stapfunctie 0 en de tweede -1, dus hun verschil is 1. Als t$>$0 geeft de eerste stapfunctie 1 en de tweede 0, dus hun verschil is 1. y₁(t) - y₂(t) = e^-2t

Pas op dit geldt enkel als t$ \ne $0, daar de stapfuncties in 0 niet gedefinieerd zijn.

de functie e^-2t is oplossing van vele differentiaalvergelijking, maar enkel van één homogene eerste orde differentiaalvergelijking, die hierboven al is opgelost, nl. y(1)(t) + 2y(t)=0

Hopelijk is het nu duidelijk. Vrees niet het oplossen van diff.vergelijking. vergt vooral ervaring en valt niet te onderschatten.

FvS
5-1-2008