WisFaq!

Pentagram oppervlakte ontleed?

Hallo,
Ik ben ook druk bezig met de formule van de dodecaeder. Om dit te kunnen doen, moet je beginnen vanaf het begin uiteraard. Ik heb veel gehad aan de uitleg van jullie kant. Toch kom ik bepaalde dingen tegen die ik niet begrijp.

De uitleg dat sin72°=1/4.√(10+2√5) vindt ik vrij lastig te begrijpen. Ik heb deze site wel kunnen raadplegen: http://whistleralley.com/polyhedra/pentagon.htm alleen maken ze daar een stap die ik niet kan begrijpen. Hopelijk met kleine uitleg kunnen jullie me helpen!

Alvast bedankt

Paul Sahusilawane
2-1-2008

Antwoord

Beste Paul,

Op http://whistleralley.com/polyhedra/pentagon.htm doen ze het volgende:
ze nemen een regelmatige vijfhoek met zijdelengte 1. DSTU heeft dan |ST| = 1, |TU| = 1 en |SU| = F, waarbij F = (1 + √5)/2 de gulden snede.

De waarde van cos(3p/5) wordt m.b.v. de cosinusregel in DSTU berekend.
Dat gaat als volgt: |SU|² = |ST|² + |TU|² - 2·|ST|·|TU|·cos($\angle$STU).
Dus F² = 1 + 1 - 2·1·1·cos(3p/5) oftewel F² - 2 = -2·cos(3p/5).
Dus ^{(F2 - 2)}/_-2 = cos(3p/5).
Na vereenvoudiging wordt dit (1 - √5)/4 = cos(3p/5).

Om de waarde van sin(3p/5) te bepalen wordt gebruikgemaakt van de hoofdregel der goniometrie: sin²(x) + cos²(x) = 1 of ook sin²(x) = 1 - cos²(x) of ook sin(x) = ±√(1 - cos²(x)) naargelang de waarde van x.
Nu weten we dat sin(3p/5) positief is, dus sin(x) = √(1 - cos²(x)) gebruiken. Vul x = 3p/5 in en gebruik (1 - √5)/4 = cos(3p/5) en dan krijg je je antwoord.

Groetjes,

Davy.

Davy
2-1-2008