WisFaq!

Opgave ruimtemeetkunde

Mijn zoon (laatste jaar ASO) worstelt al enkele dagen met een opgave inzake ruimtemeetkunde. Ze luidt als volgt:
gegeven: een regelmatige piramide tabcd met hoogte 3A, |mc|=A en ap loodrecht op tb. bewijs dat pc loodrecht staat op tb en bereken de hoek tussen de zijvlakken tba en tbc. Een tip die de leraar gaf was een tussenstap via het bewijs dat mp loodrecht staat op tb.
Kunnen jullie ons aub op weg helpen?

Bernard Rommens
12-11-2002

Antwoord

Hoi,

Hier het plaatje dat je me stuurde:




Een schets van hoe je het zou kunnen doen:

Je ziet dat |at|=|ct| en |ab|=|cb|. Driehoeken Dabt en Dbct zijn dus congruent. p ligt op [bt] dan een deel is van beide driehoeken. De hoeken blijven bewaard en dus is pc^bt.

De gevraagde hoek is dezelfde als hoek p van Dacp. Omwille van symmetrie is dit 2 keer de hoek a in p van Damp. |am|=A en |mp| is makkelijker te berekenen dan |ap|.

Het vlak bepaald door pa en pc gaat door p en staat loodrecht op bt. Dit geldt voor alle rechten in dit vlak door p. pm staat dus ook loodrecht op bt. [mp] is dus de hoogtelijn van een rechthoekige driehoek Dmbt. De oppervalkte ervan is: A.3A/2=|mp|.|bt|/2 en dus:|mp|=3A²/|bt|. Met Pythagoras vinden we: |bt|=Ö10A. Hiermee kennen we dus |mp|.

Samengevat: tg(a)=|am|/|mp|=... Hieruit haal je dan a en de gevraagde hoek is 2a.

Groetjes,
Johan

andros
14-11-2002