WisFaq!

Begrensde rijen

Dag beste Wisfaq

Ik heb een vraagje over begrensde rijen, het zijn namelijk 2 oefeningetjes. Maar geraak maar niet aan de juiste oplossing.

De opgave is als volgt: Welke van de volgende rijen zijn begrensd?

1) N0 ( natuurlijke getallen zonder 0 ) - R²: n - ((n+1)/n,3)

2) N0 - R²: n - (e^(-(n^-2)),n/absolute waarde (n) )

Ik weet dat het de bedoeling is een getal M te zoeken, zodat elke Un kleiner of gelijk is aan M.

Alvast bedankt
Bart

Bart Herpoelaert
13-12-2007

Antwoord

Dag Bart,

In één dimensie volstaat het inderdaad om aan te tonen dat er een M0 bestaat zodat |u_n|M (de absolute waardes zijn belangrijk!)

In twee dimensies moet je aantonen dat er een M0 bestaat zodat je rijtermen (dit zijn koppels, dus je kan dat zien als punten in het vlak) allemaal in een cirkel met straal M liggen.

Of, en dat is equivalent, dat er een M₁ en een M₂ bestaan zodat |u_n,1|M₁ en |u_n,2|M₂. Met u_n,2 bedoel ik de tweede component van u_n.

Meestal is de tweede definitie handiger, dat is hier ook zo. Als ik eens naar de tweede opgave kijk: je eerste component is e^(-n^(-2)). Als n stijgt, dan daalt n^(-2), dus dan stijgt -n^(-2), dus dan stijgt ook e^(-n^(-2)). Als n naar oneindig gaat, dan is e^(-n^(-2)) echter nog altijd maar gelijk aan e^0=1. Dus die eerste component is een rij van positieve getallen tussen 0 en 1, dus je kan M₁=1 kiezen. En voor natuurlijke getallen geldt |n|=n, dus n/|n|=1, dus je kan M₂=1 kiezen. Dus de rij uit je tweede oefening is begrensd.

De rij uit de eerste oefening ook, ook daar kan je M₁ en M₂ vinden.

Oja, wil je per se met de eerste definitie werken, dan kan je M gelijk nemen aan Ö(M₁²+M₂²), dan geldt dat
|u_n|=Ö(u_n,1²+u_n,2²)Ö(M₁²+M₂²)=M.

Groeten,
Christophe.

Christophe
13-12-2007