WisFaq!

Altijd en nooit kwadraten

toon aan dat geen getal uit de rij
11 111 1111 11111 .....
een kwadraat is.

toon aan dat elk getal uit de rij
49 4489 4444889 44448889 ......
wel een kwadraat is.

anoniem
12-12-2007

Antwoord

Het bewijs dat de rij 11, 111, 1111, 11111 geen kwadraten bevat gaat het simpelst als je van deze getallen de rest bij deling door 4 uitrekent.
Die rest is altijd 3. Kwadraten hebben bij deling door 4 rest 0 of rest 1.
Dus deze rij bevat geen kwadraten.

De tweede rij bestaat uit de getallen:
7²,67²,667²,6667²,66667²,....
'verklaring'
Dat 7²=49 hoeft geen betoog.
67²=(60+7)²=3600+2·60·7+49=3600+2·420+49=3600+840+49=4489
667²=(600+67)²=360000+2·600·67+4489=360000+2·40200+4489=360000+80400+4489=444889
6667²=(6000+667)²=36000000+2·6000·667+444889=36000000+2·4002000+444889=
36000000+8004000+444889=44448889.
De eigenlijke grap zit hem in de producten 2·600...·...67.
Je kunt 6667 zien als iets meer dan 2/3 van 10000, om precies te zijn: ¹/₃ meer.
Dus 60000·6667=6·10000·(2/3·10000+1/3)=
=10000(6·2/3·10000+6·1/3)=10000·(40000+2)=400020000.

Dus het getal bestaande uit n zessen gevolgd door een 7 is gelijk aan (2/3·10ⁿ⁺¹+1/3)

Kwadrateer je dit getal dan krijg je 4/9·10^(2n+2)+4/9·10ⁿ⁺¹+1/9.
Nu is 10^m/9 een getal bestaande uit m-1 enen+¹/₉ en 4·10^m een getal bestaande uit m-1 vieren+ 4/9.
Dus we moeten optellen:
Een getal van 2n+1 vieren, een getal van n vieren en 4/9+4/9+1/9=1
Zet je dit allemaal netjes onder elkaar dan krijg je een getal uit jouw rij.

hk
12-12-2007