WisFaq!

Integreren van rationele functies dmv breuksplitsen

Even een vraagje over analyse, ik snap de logica niet echt.

Voorbeeld1:

(x³ - x + 1) / ((x²( x - 1)³) = (A/x) + (B/(x²)) + (C/(x-1)) + (D/(x-1)²) + (E/(x-1)³)

Voor een zekere A B C D en E

Voorbeeld2:

(x³ + x² + 1) / (x(x-1)(x²+x+1)(x²+1)³) = (A/x) + (B/(x-1)) + ((Cx + D)/(x² + x + 1)) + ((Ex + F)/(x² + 1)) + ((Gx + H)/(x² + 1)²) + ((Ix + J)/(x² + 1)³)

Voor een zekere A B C D E F G H I en J

Het idee snap ik, maar wat ik niet snap:

Waarom staan er in sommige tellers gewoon letters (zoals A) en in sommige de vorm (Ax + B)
Hoe weet je wanneer je de vorm 'A' moet gebruiken en wanneer de vorm (Ax + B)

Alvast bedankt!

Michiel de Wit
12-12-2007

Antwoord

Hoi Michiel,

Jouw voorbeeld bevat nogal wat bijzonderheden.
Meestal is het eenvoudiger.

B.v.: (x²+x+1)/(x(x²-1)) = (x²+x+1)/(x(x+1)(x-1)) = A/x + B/(x+1) + C/(x-1).

Maar, er zijn twee "uitzonderingen". Wanneer een factor in de noemer een hogere macht heeft moet je in je uitwerking alle machten tot die macht gebruiken.

Dus, b.v.: (x²+x+1)/(x²(x-1)) = A/x + B/x² + C/(x-1)

En, wanneer een factor met een macht niet te splitsen is krijg je ook AX+B in de teller.

B.v.: (x²+x+1)/(x(x²+1)) = A/x + (Bx+C)/(x²+1)

Jouw geval is een combinatie van deze twee uitzonderingen.

Ik hoop dat het zo duidelijk is? Groet. Oscar.

os
12-12-2007