WisFaq!

Bewijzen van limieten met epsilon en delta

Hoe kan ik bewijzen (met de ε-δ definitie) dat lim van de constante functie c in a gelijk is aan c? Dit zowel voor a Є IR en a = + en a = - .

Alvast bedankt

Samme
12-11-2002

Antwoord

Hoi,

Voor a reëel, moet je bewijzen dat je een $\delta$ kan vinden met de eigenschap dat als |x-a|$<\delta$ dat dan |f(x)-f(a)|=|c-c|=0<$\epsilon$ en dit voor elke strikt positieve $\epsilon$. Welnu, dit geldt voor elke $\delta$, dus ook voor bv $\delta$=1.

Voor $\infty$ moet je bewijzen dat je bij elke $\epsilon$ een n kan vinden zodat als x>n dat dan |f(x)-c|=|c-c|=0$<\epsilon$. Weer geldt dit voor alle n...

Zelfde redenering voor -$\infty$.

Telkens is de redenering dat je een gebied voor x kan vinden zodat f(x) willekeurig dicht bij de kandidaat-limiet komt. Bij een willekeurige strikt positieve $\epsilon$ die mogelijke afwijking van f(x) beperkt, moet je dus een $\delta$ (of n) bepalen die x beperkt.

Groetjes,
Johan

andros
13-11-2002