WisFaq!

Integreren van goniometrische functie

Beste wisfaq,
ik weet niet of ik de juiste benadering gebruik voor het oplossen van de integraal:
òx²·Ö4-x²dx
hierbij gebruik ik de goniometrische substitutie.
ik stel: x=2sinv
dus: x^2=4sin²x
en dx=2cosvdv
verder geldt dat sinv=(x/2) en cosv=(Ö4-x^2 / 2

dan volgt:
òx²·Ö4-x²dx=4sin²v·Ö(4-4sinv) · 2cosvdv=
8òsin²vcosv·Ö(4-4sinv)dv=
8òsin²vcosv·2|cosv|dv=16òsin²vcos²vdv=
.....
16(1/8 · v - 1/32 · sin(4v))+C

hier moet ik sin4v vereenvoudigen, maar dit lukt mij niet!?!
als ik de som en verschil formule toepas, wordt mijn oplossing niet eenvoudiger:
sin(4v)=sin2v*cos2v+cos2v*sin2v=sin²2v*cos²v
kunt u mij helpen om de oplossing te vinden?
en is er een standaard formule
om sin(ax) om te zetten naar sinxcosx
(denkend aan) sin2x=2sinxcosx

bvd,

Carlos

carlos
9-12-2007

Antwoord

Carlos,
sin4v=2sin2vcos2v=4sinvcosv(1-2sin²v)=4(x/2)(Ö(4-x²)/2)(1-2x²/4).
Hopelijk zo tevreden.

kn
9-12-2007