WisFaq!

Galois Theorie en Regelmatige veelhoeken

Goed, ik maak mijn profielwerkstuk over regelmatige veelhoeken . Mijn leraar heeft mij gevraagd uit te zoeken waarom bijvoorbeeld een regelmatige 7-hoek niet construeerbaar is met passer en liniaal en hij heeft mij daarbij op de galoistheorie gewezen.

Ik snap al dat je de punten van een regelmatige veelhoek, bijvoorbeeld een 3-hoek kan vinden in een complexe eenheidscirkel door de vergelijking x³=1 op te lossen. x⁴=1 lukt ook nog wel en x ⁷ = 1 is dus degene die ik moet bewijzen. Kunnen jullie mij op weg helpen?

Tim Foppen
7-12-2007

Antwoord

Je moet laten zien dat de volgende oplossing van x⁷=1 niet met passer en liniaal te maken is: cos(2p/7)+isin(2p/7). Dat doe je door zijn zogenaamde minimale polynoom te bepalen; als de graad daarvan niet een macht van 2 is volgt dat dat punt/getal niet construeerbaar is.
Dat minimale polynoom is het polynoom van kleinste graad en met rationale coefficienten waar je getal nog een nulpunt van is. Omdat x⁷-1 = (x-1)(x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) moet je laten zien dat de tweede factor niet te ontbinden is als (x²+ax+b)(x⁴+cx³+dx²+ex+f) met a, b, c, d, e, f rationaal; dat kost wat moeite maar met een beetje volhouden kom je er wel.
Hieronder staat een link naar een verhaal over de driedeling van de hoek.

Zie Constructies met passer en liniaal [http://dutiaw37.twi.tudelft.nl/~kp/stukjes-pythagoras/jg36/passer-en-liniaal]

kphart
7-12-2007