WisFaq!

Integreren van sin3x

beste wisfaq, het lukt mij niet om òsin³xdx op te lossen. in het boek heb ik de volgende uitwerking gevonden, maar ik zie niet hoe de substitutie plaats vindt...
zou u de uitwerking uitgebreider kunnen beschrijven?
òsin³xdx =òsin·sin²xdx òsin·(1-cos²x)dx
in de volgende stappen raak ik de klus kwijt:
ik ben gewend om de substitutie niet uit mijn hoofd te doen, maar gewoon helemaal uitschrijven om fouten te voorkomen.
-ò(1-cos²x)dcosx=¹/₃cos³-cosx +C

(heb wel geprobeer om de substitutie te doen maar het probleem wordt alleen maar groter...zie hieronder)
òsin³xdx =òsin·sin²xdx òsin·(1-cos²x)dx
ik stel t=cos²x®dt=2cosx·sinxdx®¹/₂dt=cosxsinxdx
en t=cos²x®Öt=cosx.

(1/Öt)·¹/₂dt=sinxdx....
ò(1-t)·¹/₂·(1/Öt)dt=¹/₂ò(1-t)/Öt dt

carlos
6-12-2007

Antwoord

Beste Carlos,

De substitutie netjes opschrijven, is zeker geen slecht idee. Pas wanneer je dat helemaal onder de knie hebt en vlot goochelt met afgeleiden en primitieven, kan je dit "versneld" doen.
In het boek brengen ze sin(x) "achter de d" (primitieve nemen), dat geeft sin(x)dx = d(-cos(x)) = -d(cos(x)).

Maar laten we het even normaal opschrijven, we hadden:

òsin(x)(1-cos²x)dx

Je hebt een functie van cos(x), namelijk 1-cos²x, en je hebt (op het teken na) de afgeleide van cos(x), namelijk sin(x). Dat suggereert een substitutie t = cos(x), want dan is dt = -sin(x)dx of -dt = sin(x)dx en dit laatste hebben we. Dus:

òsin(x)(1-cos²x)dx ® -ò(1-cos²x)(-sin(x))dx = -ò(1-t²)dt = òt²-1 dt

Lukt het zo?

mvg,
Tom

td
6-12-2007