WisFaq!

Re: Bewijs uitbreiding stelling van Rolle

Ach zo,
nu is het wel zo dat er een gegeven ontbrak:
We weten ook dat f⁽ⁿ⁺¹⁾(a) bestaat.
Ik had ondertussen geprobeerd het bewijs onder volledige inductie te bewijzen, maar dit lukt niet goed. Is dit de goeie manier of moet het via een andere bewijstechniek?
Heeft iemand een idee?

Joeri
5-12-2007

Antwoord

Het kan op twee manieren met inductie:
- neem n vast en maak het rijtje c₁, c₂, c₃, ... met recursie; dan is c_n+1 na n+1 stappen gevonden.
- met inductie naar n: geval n=0 is de stelling van Rolle; bij de stap van n naar n+1 vind je eerst een d zo dat f⁽ⁿ⁺¹⁾(d)=0. Pas dan de stelling van Rolle toe op op [a.d] en de functie f⁽ⁿ⁺¹⁾, je vind dan c tussen a en d met f⁽ⁿ⁺²⁾(c)=0.
(Het bestaan van f⁽ⁿ⁺¹⁾(a) is niet nodig; het is voldoende dat f⁽ⁿ⁾ continu is op [a,b] en dat f⁽ⁿ⁺¹⁾ bestaat op (a,b).

kphart
5-12-2007