WisFaq!

Re: Wat is het geitprobleem?

Ik heb deze vraag eens gekregen van een student van mij. Toen ging het over een weiland met een straal van 5m. (maar dat maakt natuurlijk niet uit). Ik heb het als volgt opgelost:

Teken het weiland op een assenstelsel met het middelpunt in de oorsprong.
Teken (ongeveer) de cirkel van het geitje met zijn oorsprong in het coordinaat (0m,1m) op de positieve y-as dus. De straal van deze cirkel is natuurlijk de gevraagde lengte R.

Om het ingesloten oppervlak van de twee cirkels gelijk te laten zijn aan de helft van het oppervlak dient R ergens tussen 1 en 1wortel2 te liggen. de cirkel van het geitje zal dus twee snijpunten met de x-as hebben. een tussen (-1m,0m) en de oorsprong, de andere tussen (1m,0m) en de oorsprong,

Vergelijk nu het oppervlak ingesloten tussen de twee cirkels met het oppervlak ingesloten tussen de x-as en het deel van het weiland erboven (halve cirkel). Deze oppervlakken dienen gelijk te zijn.
Dit betekend dat het deel wat ingesloten wordt door de x-as en de cirkel van het geitje (onder de x-as), gelijk moet zijn aan de som van de twee partjes rechts en links van dit oppervlakje (ingesloten tussen de x-as, de cirkel van het weiland en de cirkel van het geitje).
Stel nu de functies op van de twee cirkels (met extra variabele R in de vergelijking voor de cirkel van het geitje. Druk het snijpunt van de twee cirkels uit in R.
Stel nu de integralen op die bovengenoemde ingesloten oppervlakken beschrijven en stel deze gelijk aan nul (het positieve oppervlak is immers even groot als het negatieve):
De vergelijking wordt als volgt:

Integraal van weilandcirkel tussen grenzen x=-15m tot x=negatief snijpunt van de twee cirkels +
Integraal van geitjescirkel tussen grenzen x=negatief snijpunt tot x=positief snijpunt van de twee cirkels +
Integraal van weilandcirkel tussen grenzen x= x=positief snijpunt van de twee cirkels tot x=1m
=0
Invoeren in numeriek rekenprogramma (Derive) met de randvoorwaarde dat R ligt tussen 1 en 1wortel2, levert ongeveer R=1,15m

Jochem
5-12-2007

Antwoord

Lijkt me goed. Maar een plaatje was wel zo verhelderend geweest.

os
11-12-2007