WisFaq!

Re: Deelbaarheid

Bedankt voor de uitleg, ik mag de oefening op eender welke manier oplossen, dus ook met complexe getallen, maar het probleem is dat ik daar aleen nog maar de basis van ken, dus die exponentiële notatie voor een complex getal ken ik nog niet. Maar kan je ook niet aantonen dat de oplossingen van de ene veelterm dezelfde is als de andere met reële getallen?

Jeroen
28-11-2007

Antwoord

Dat zal jammer genoeg niet lukken... De negen nulpunten van die negendegraadsveelterm zijn immers allemaal complexe getallen. Maar ik zie nu dat je de oefening wel kan oplossen met weliswaar hetzelfde idee, maar zonder echt expliciet die complexe getallen te gebruiken:

Stel dat y een nulpunt is van je negendegraadsveelterm. Dus
y⁹+y⁸+...+y²+y+1=0 (*)

Doe dit maal (y-1), en wegens dat merkwaardig product krijg je y¹⁰-1=0. Dus y¹⁰=1.
Daaruit volgt dat
y¹¹¹¹=y¹¹¹⁰y=(y¹⁰)¹¹¹y=1¹¹¹y=y.

Op dezelfde manier bekom je y²²²²=y², enzovoort.

Dus 1+y¹¹¹¹+y²²²²+...+y⁹⁹⁹⁹=1+y+y²+...+y⁹=0 wegens (*).

Conclusie: we zijn vertrokken met een willekeurig nulpunt (y genoemd) van x⁹+...+x+1, en we komen uit dat dit ook een nulpunt is van x⁹⁹⁹⁹+...+1. Dit volstaat om aan te tonen dat de eerste veelterm een deler is van de tweede.

Christophe
28-11-2007