WisFaq!

Deelbaarheid

Hey,

Ik heb een probleempje: ik moet aantonen dat 1 + x¹¹¹¹ + x²²²² + ... + x⁹⁹⁹⁹ deelbaar is door 1 + x + x² + ... + x⁹.

ik heb al geprobeerd om x¹¹¹¹ af te splitsen, en ik bekwam dus 1 + x¹¹¹¹(1 + x + x² + ... + x⁹), dus het tweede deel is al deelbaar, maar dan zit ik nog met die 1, hoe kan ik dit probleem oplossen? Is dit de goede methode?

Alvast bedankt,

Jeroen
27-11-2007

Antwoord

Dag Jeroen,

Je maakt een fout tegen de rekenregels in wat je al geprobeerd hebt:
x^ax^b=x^a+b
dus x¹¹¹¹x²=x¹¹¹³ en niet x²²²².
Dus je afsplitsing klopt niet.

Ik weet niet op welk onderdeel dit een oefening is... maar als je onlangs complexe getallen hebt gezien dan kan je die zeker gebruiken in deze oefening. Welke methode je ook gebruikt, ik denk dat je altijd wel het volgende zal nodig hebben:

Denk eerst en vooral aan formules als:
1-x²=(1-x)(1+x)
1-x³=(1-x)(1+x+x²)
...
De formule uit dat rijtje die hier handig zou kunnen zijn, is duidelijk
1-x¹⁰=(1-x)(1+x+x²+x³+...+x⁹)
of nog: 1+x+x²+x³+...+x⁹=(1-x¹⁰)/(1-x).

Nu, deelbaarheid van een veelterm door een andere, kan je aantonen door te bewijzen dat elk nulpunt van de ene, ook een nulpunt van de andere is. Dankzij de formule die ik niet heb gegeven, kan je alle nulpunten van 1+x+x²+x³+...+x⁹ bepalen (gebruik hiervoor de exponentiële notatie re^iq voor een complex getal!)

Al die nulpunten zullen van de vorm e^ikp/5 zijn met k een getal van 1 tot 9. Je kan nu hoge machten hiervan berekenen: bijvoorbeeld
(e^ip/5)³³³³=e^3333ip/5=e^{333*2ip+3ip/5}=e^3ip/5 omdat je weet dat e^2pi=1.

Zo zou je er kunnen geraken. Heb je nog geen complexe getallen gezien, of moet het op een andere manier, of begrijp je iets niet, reageer dan gerust.

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-11-2007