Is het mogelijk om bij een matrix van een elliptische afbeelding de assen en de bijbehorende vergrotingsfactor te vinden?
En hoe is aan de matrix te zien of een afbeelding een spiegeling of een draaiing is? Heeft dit te maken met bepaalde negatieve getallen? Ik vond deze vraag al op WisFaq maar snaptte het antwoord niet.koekie
24-11-2007
Hallo, Jolijn.
Ik neem aan dat je het hebt over 2 bij 2 matrices.
Indien de matrix symmetrisch is, bestaat er een basis van twee eigenvectoren die loodrecht op elkaar staan. Dit zijn dan de richtingsvectoren van de assen.
Zijn de bijbehorende eigenwaarden beide positief, dan heet de afbeelding elliptisch en zijn deze eigenwaarden de vergrotingsfactoren.
Als de eigenwaarden 1 en -1 zijn, dan is de afbeelding een spiegeling. De eigenvector bij eigenwaarde 1 is richtingsvector van de lijn waarin gespiegeld wordt, die bij -1 richtingsvector van de lijn in welks richting gespiegeld wordt.
Men kan bij voorbaat zien of de matrix bij een draaiing of spiegeling hoort, nog voordat men de eigenwaarden en eigenvectoren heeft berekend.
Een spiegelingsmatrix heeft namelijk de vorm
cosj sinj sinj -cosj
De kolomvectoren hebben dus lengte 1 en staan loodrecht op elkaar.
De vorige zin is ook waar bij een draaiingsmatrix, maar deze heeft de vorm
cosj -sinj sinj cosj
dan is j de draaiingshoek (de matrix is dan niet symmetrisch).
Voorbeeld van een draaiing over p/3 radialen (zestig graden):
cos(p/3) -sin(p/3) sin(p/3) cos(p/3)
=
1/2 -1/2Ö3 1/2Ö3 1/2
hr
29-11-2007
#53183 - Lineaire algebra - Leerling bovenbouw havo-vwo