WisFaq!

Positieve gehele getallen maken

Beginnend met 4 kunnen nieuwe gehele getallen worden gemaakt door:

1. vermenigvuldigen met 10
2. vermenigvuldigen met 10 en 4 erbij tellen
3. delen door 2 als het getal even is

Bewijs dat zo alle positieve getallen kunnen worden gemaakt.

Jolanda
24-11-2007

Antwoord

Beste Jolanda,
Een leuke vraag! Waar haal je die vandaan?
Je kan het met een soort volledige inductie bewijzen.
4®2®1
2®24®12®6®3
4®40®20®10®5
1®14®7
6®64®32®16®8
1®14®144®72®36®18®9
Nu hebben we alle cijfers van 1 t/m 9.
Stel we hebben alle getallen gemaakt tot a.
Elk getal a kan je schrijven als 10b+c, waarbij c10 (gehele getallen)
Vermenigvuldig a met een zo klein mogelijke macht van 2, zodanig dat de uitkomst een getal is dat eindigt op een 4 of een 0.
Haal het laatste cijfer weg. In de meeste gevallen is het zo verkregen getal kleiner dan a en kunnen we a maken.
Alleen als c=9 is er nog een probleempje, want dan moet je a met 16 vermenigvuldigen en is groter dan a. Het dan verkregen getal zal echter nooit op een 9 eindigen,zodat we het proces kunnen herhalen tot een getal kleiner dan a is verkregen.
Het laatste relaas is natuurlijk geen echt bewijs, maar dat laat ik aan jou over.
Lukt het niet, dan hoor ik het wel .
Succes

ldr
24-11-2007