Dit maakt de vraag een stuk interessanter. Waarom geldt (-1)·(-1)=1? Dat is duidelijk een fundamentele vraag, die inderdaad te maken heeft met de definitie van negatieve getallen. En dat heeft alles te maken met groepentheorie.
Laten we beginnen met de verzameling positieve gehele getallen:
. Het definieren daarvan is nog fundamenteler en dat laten we dus lekker even zitten. We hebben niet alleen de getallen, maar we weten ook hoe we moeten optellen en vermenigvuldigen. En nog belangrijker. Het optellen en vermenigvuldigen voldoet aan een aantal regels: 1) commutativiteit: a·b = b·a en a+b=b+a.
2) associativiteit: a·(b·c)=(a·b)·c en a+(b+c)=(a+b)+c
3) distributiviteit: a·(b+c)=a·b+a·c
verder zijn er ook nog de
4) eenheidselementen: 1·a = a en 0+a = 0
Als je regels 3) en 4) combineert vind je nog een belangrijke eigenschap: 0·a = 0 (probeer dat maar eens te bewijzen). Hoewel je je er misschien niet van bewust bent maak je vaak gebruik van deze regels. Dus, als je negatieve getallen gaat definieren wil je als het even kan dat de rekenregels geldig blijven.
De eenvoudgiste manier om negatieve getallen te definieren is door te stellen: "Bij elk getal a hoort een getal -a en wel zo dat -a+a=0". En meer heb je ook niet nodig. Samen met de bovenstaande rekenregels kun je nu alle berekeningen met negatieve getallen doen.
Een voorbeeld: -1+5 = -1+(1+4) = (-1+1)+4 = 0+4 = 4
Maar ook bij voorbeeld: -1·4 + 4 = -1·4 + 1·4 = (-1+1)·4 = 0·4 = 0
zodat: -1·4 = -4
Op een vergelijkbare manier bewijs je (-1)·(-1) = 1. Maar dat mag je zelf doen. Laat maar weten hoever je komt als het niet lukt.
Groet. Oscar.
PS: Nog even een toevoeging. De bovenstaande regels zijn zo belangrijk dat ze de kern van de groepentheorie vormen. Maar er hoort nog een vijfde regel bij die over negatieve getallen gaat:
5) inverteerbaarheid: bij iedere a kun je een inverse (-a) vinden zdd a+(-a)=0. En bij iedere a¹0 een inverse (1/a) zdd a·(1/a) = 1.
Je kunt een willeurige verzameling nemen en een willekeurige optelling of vermenigvuldiging definieren. Als die aan regel 1, 2 en 4, 5 voldoet noem je het resultaat een groep. Als je een optelling en een vermenigvuldiging definieert die aan alle regels voldoet noem je het resultaat een "lichaam" (engels "field").
De verzameling positieve getallen voldoet aan regels 1 t/m 4, maar niet aan regel 5. Het is dus geen lichaam en zelfs geen groep voor optellen.. Als je negatieve getallen toevoegt kijg je de verzameling gehele getallen (
). Die voldoet aan regels 1, 2, 4 en 5 voor optellen en vormt dus een groep. Als je tenslotte ook be breuken toevoegt krijg je de verzameling rationale getallen. Die vormt wel een lichaam. Het leuke is dat je hele andere verzamelingen kunt verzinnen die toch een groep of een lichaam vormen. Die verzamelingen hebben dan allerlei eigenschappen gemeenschappelijk waarvan je gebruik kunt maken. Dit wordt bij voorbeeld heel veel toegepast bij symmetrie.
os
22-11-2007