WisFaq!

Een onbegrensde functie in een Sobolev ruimte

Hallo wisfaq,

Ik wil graag het volgende aantonen voor n1:
De onbegrensde functie u=loglog(1+(1/|x|)) behoort tot de Sobolevruimte W^(1,n)(U) voor U=B(0,1), een open bal in de R^n met middelpunt 0 en straal 1.

Ik heb enkele vragen over het bewijs.We moeten dus laten zien dat u en de partiële afgeleide van u naar x (notatie (p/px)(u)) behoren tot de L^n.

Ik heb voor het gemak eerst n=2 gekozen.Ik hoop dat het geval voor n2 dan hieruit volgt, of makkelijker bewezen kan worden.

Bewijs
We laten eerst zien dat u in L_2(B(0,1))

Het linkerlid van(1): de intgraal gaat over B(0,1)
Het rechterlid van (1): de binnenste intgraal loopt van 0 tot 1, de buitenste integraal van 0 tot 2*pi

(1) int[{loglog(1+(1/|x|))}^2]dxdy =int [int[r*loglog(1+(1/r))dr]dt

de rechterkant van (1) is eindig want de integrand is begrensd.

Vraag1.Zie linkk. van (1): De buitenste integraal voor de variabele y wordt soms niet geschreven.Heeft dit een speciale betekenis of is het gewoon voor het gemak omdat je toch weet dat er geïntegreerd wordt over een bol?

Vraag2.Hoe toon ik aan dat de integrand I(r)=r*loglog(1+(1/r)) begrensd is?
Want als 0r1, dan 11/roneindig, en 0log(1+(1/r))oneindig.

(Met 1+1/x wordt altijd bedoeld 1+(1/x))
Er geldt

(2) (p/px)(u)={1/[log(1+1/|x|)]}*{1/(1+|x|)}

dus we hebben

(3) int[|(p/px)(u(x))|^2dxdy, integraal over B(0,1)

Substitueer nu (2) in (3) dan is het resultaat,

(4) int[|(p/px)(u(x))|^2dxdy=int{int[f(r)*g(r)]dr}, de binnenste integraal loopt van r=0 tot 1, de buitenste van 0 tot 2*pi

met f(r)=1/[log((1+1/r)^2) en g(r)=1/[r*((1+r)^2)]

Vraag3.Nu wordt de buitenste integraal van het rechterlid van (4) geschreven, maar nu wordt dt niet geschreven.Waarom is dat?Is dat volgens dezelfde reden als in vraag 1?

Maak nu een substitutie u=1/r, dan krijgen we het volgende resultaat,

(5) int[h(u)*k(u)]du , u loopt van u=1 tot oneindig

met h(u)=1/[u+1/u] en k(u)=1/[log((1+u)^2)]

Deze intgraal wordt begrensd door

(6) int[1/[u*(log(u))^2]]du, u=1....oneindig

Vraag4.Hoe toon je aan dat dit zo is?

Er geldt dat

(7) 1/[u*(log(u))^2]]=(d/dt)[-1/log(u)]

en hieruit volgt dat int{int[f(r)*g(r)]dr} in (4) eindig is.

Vraag5.Waarom volgt dat?

En dus is u bevat in H^1(B(0,1), ondanks dat het een onbegrensde functie is.

Vraag6.Hoe toon ik nu aan dat dit ook geldt voor n1 geldt?

Groeten,

Viky

viky
19-11-2007

Antwoord

[let op: dit antwoord is niet correct. Zie de correcties in de vervolgvraag]

Hoi Vicky,

Je vraag staat alweer een paar dagen. Dus zal ik hem maar weer eens proberen te beantwoorden.

vraag 1: Zoals je weet is een integraal is een sommatie over een meetbare verzameling. Die verzameling hoeft niet 1-dimensionaal te zijn. In dit geval wordt er geintegreerd over een twee dimensionale verzameling. Die kun je aanduiden met één integraalsymbool. (eigenlijk zou er ook dA of zoiets moeten staan voor het volumeelement ipv dxdy maar dan zou het wel wat minder duidelijk worden). Als je de integraal gaat uitrekenen doe je dat meestal met herhaalde integratie. Dan noteer je wel twee symbolen.

vraag 2: Jouw antwoord is te kort door de bocht (b.v. de functie 1/r is niet begrensd). Een eenvoudige redernatie: log(1+(1/r))1/r. Dus: r*log(log(1+(1/r))rlog(1/r)=-r*log(r). Deze laatste functie is begrensd (b.v. differentieren en maximum berekenen) dus jouw functie ook.

vraag 3: De integraal over t levert gewoon een factor 2p op. Die kun je dus verder weglaten.

Even een opmerking. Het is mij niet helemaal duidelijk wat je met |x| bedoelt. Is dat de afstand van het punt tot de oorsprong, of de absolute waarde van de x-coordinaat? Uit de manier waarop je overgaat op bolcoordinaten leidt ik af dat je het eerste bedoelt (|x|=r). In dat geval klopt je partiele afgeleide niet helemaal:
(p/px)(u) = (p/px) log(log(1+1/|x|))
=( 1/log(1+1/|x|) ) * ( 1/(1+1/|x|) ) * ( 1/|x|^2 ) * ( x / |x| )
=( 1/log(1+1/|x|) ) * ( 1/(1+|x|) ) * ( x / |x| )
Er komt dus nog een factor x/|x| achter. Dat maakt verder niet voor het begrensd zijn van de integraal aangezien die factor toch altijd kleiner dan 1 is.

Het laatste deel is volgens mij veel eenvoudiger dan jij schrijft. De afgeleide gaat immers naar 0 voor kleine |x|. Ik vind:
int |(p/px)(u(x))|^2 dxdy = int r * (1/log((1+1/r))^2 * (1/(1+r))^2 dr
int r * (1/log(2))^2 * (1/1)^2 dr = ¹/₂*(1/log(2))^2

vraag 6: Het bewijs voor grotere n gaat volgens mij op dezelfde manier. Voor het begrensd zijn doet de dimensie er immers niet toe. Het enige dat verandert is de manier waarop je overgaat op bolcoordinaten.

Groet. Oscar.

os
21-11-2007