WisFaq!

Uiterste waarden berekenen

Ik heb afgeleide van een functie gemaakt maar het lukt mij niet om de uiterste waarden te berekenen.
De functie is f(x)=x⁴-2x³+x-4
De afgeleide is als volgt:
f'(x)=4x³-6x²+1

Ik weet wel dat ik het gelijk aan nul moet stellen maar daarna kom ik er niet meer uit.
Kan iemand mij helpen?

Farahnaz
19-11-2007

Antwoord

Het oplossen van 4x³-6x²+1=0 is geen gemakkelijke zaak.
Punt 1 zou ik maar eens kijken of het wel exact moet, of dat je het met de rekenmachine mag doen.

Als je wel exact de oplossingen van deze vergelijking wilt weten kan dat als je gebruik maakt van de formule van Cardano. Maar daarvoor moet je iets van complexe getallen weten. Ik ga er eigenlijk van uit dat dat ook niet de bedoeling is.

Een derde manier is om te kijken of je ook een oplossing "ziet".
Ook dat is in dit geval niet eenvoudig.
Met enige goede wil kun je inzien dat x=¹/₂ een oplossing is van 4x³-6x²+1=0 .
Immers 4·1/8-6·1/4+1=1/2-3/2+1=0.
Nu we dat weten kunnen we inzien dat 4x³-6x²+1 te schrijven moet zijn in de vorm: (2x-1)(ax²+bx+c).
Werken we de haakjes weer uit dan krijgen we:
2ax³+2bx²+2cx-ax²-bx-c=2ax³+(2b-a)x²+(2c-b)x-c
Vergelijken we dit met 4x³-6x²+1 dan is duidelijk:
2a=4
2b-a=-6
2c-b=0
-c=1
Dus a=2 en c=-1

Vullen we dit in in 2b-a=-6 en 2c-b=0 , dan volgt b=-2.

Dus 4x³-6x²+1=(2x-1)(2x²-2x-1)

Dus 4x³-6x²+1=0 als
2x-1=0 of 2x²-2x-1=0
Uit 2x-1=0 volgt x=1/2 (maar dat wisten we al)
2x²-2x-1=0 kun je oplossen met de abc-formule.

hk
19-11-2007