WisFaq!

De Hölderruimte is een Banachruimte

Hallo wisfaq,

U is een open deelverzameling van de R^n (R de reële getallen).Stel k is bevat in de verz. {0,1,...} en 0g=1.
De Hölderruimte C^(r,g)(U') is een Bachruimte is.(U' is de afsluiting van U)
Ik heb enkele vragen over het bewijs hiervan.

Bewijs
We laten eerst zien dat C^(0,g) een Banachruimte is.
Als de rij {f_j} een Cauchyrij is in C^(0,g)(U') dan gegeven een epsilon0 bestaat er een N zodat voor j,k=N geldt
(1)
||f_j-f_k||_oneindig + sup|[f_j(x)-f_k(x)]-[f_j(y)-f_k(y)]|
/[|x-y|^g] = eps

Opmerkingen over de notatie:
||f||_oneindig is de supremumnorm

het supremum wordt genomen over alle x en y in U'

eps staat voor epsilon

Omdat C^0(U') compleet is weten we dat f_j convergeet naar een f in C^0(U').We moeten alleen laten zien dat f Hölder is.Omdat f_k uniform convergeert naar f weten we dat

(2)|[f_j(x)-f(x)]-[f_j(x)-f(y)]|=eps*|x-y|^g

Vraag1.Waarom f_k--f uniform?
Vraag2.Hoe volgt nu (2) hieruit?

en dus hebben we

(3)|f(x)-f(y)|
=|f_j(x)-f_j(y)|+|[f_j(x)-f(x)]+[f_j(y)-f(y)]|
=C_j*|x-y|^g+eps*|x-y|^g

Vraag3.Ik zie dat
|[f_j(x)-f(x)]+[f_j(y)-f(y)]|=eps*|x-y|^g uit (2) volgt
maar ik zie niet waarom
|f_j(x)-f_j(y)|=C_j*|x-y|^g

Vraag4.Als eps naar nul gaat volgt dat f Hölder is?

Vraag5.Het geval C(r,g) volgt nu uit bovenstaande maar ik weet niet hoe?

Groeten,

Viky

viky
16-11-2007

Antwoord

beste,

de vraag is niet duidelijk, in een hölderruimte geldt het höldercontinu zijn van een functie. Je wil aantonen dat deze ruimte een banach ruimte is, je neemt een rij functies 'fn' die cauchy is, en kijkt of de limiet van deze cauchyrij ook in deze ruimte ligt, waarvoor dus ook de holder ongelijkheid geldt.

Neem een cauchyrij f_n dus,
"e$n_0"p,qn_0: ||fp-fq||e, bij jou hebben ze er

||f_j-f_k|| + sup||[f_j(x)-f_k(x)]-[f_j(y)-f_k(y)]||/[|x-y|^g] e

van gemaakt door telkens een f_j(x) en f_k bij te tellen en af te trekken.

Je dient nu hiervan uitgaande, te bewijzen dat ||[f_n(x)-f(x)]||e , voor alle e.

Je weet dat je functie hölder continu is, ik vraag met af waarom daar opeens uniforme continuïteit bij jou bij komt kijken want wat daaronder staat is net de definitie van een holder continue functie, let wel, als g=1 staat er lipschitz continuiteit, en dat is sterker dan uniforme continuiteit.

||[f(x)-f(y)]||e|x-y|^g Nu tel je er f_j(x) bij op en terug af

||[f_j(x)-f_j(x)+f(x)-f(y)]||e|x-y|^g, als je dat invult in (1), dan valt |x-y|^g weg, hou je enkel e over, het feit dat je zegt dat C^0(U') compleet is weten we dat drukt de convergentie uit van de f_n.

Misschien kan je me eerst iets meer vertellen over het feit dat je uniforme convergentie gebruikt, want bij mij vallen die |x-y|^g weg, ik neem aan dat je dan e/2 en nogeens e/2 overhoud van de beide zaken die je kleinpraat, maar bij jou is dat percies niet zo, misschien heb je ergens over gekeken? Kijk ook eens hier : http://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder_continuity

winny

wk
17-11-2007