WisFaq!

Re: Re: De golfvergelijking: Behoud van energie

Hoi,

Ik heb nog een vraag over K(t)=P(t).
Ik neem voor het gemak c=1.En p/pt is de partiële afgeleide naar t.Alle integralen lopen van x-t tot x+t tenzij anders vermeld.
Formule van d'Alembert
u(x,t)=(1/2)[g(x-t)+g(x+t)]+(1/2)*int[h(y))]dy

Berekening van u_x en u_t:
(1) 2*u_x=[g'(x-t)+g'(x+t)]+(p/px)int[h(y))]dy

(2) 2*u_t=[-g'(x-t)+g'(x+t)]+(p/pt)int[h(y)]dy

Het kwadrateren van de uitdrukkingen geeft

(3) (2*u_x)^2=g'(x-t)^2+2*g'(x-t)*g'(x+t)+g'(x+t)^2
+{(p/px)int[h(y)]dy}^2

(4) (2*u_t)^2=g'(x-t)^2-2*g'(x-t)*g'(x+t)+g'(x+t)^2
+{(p/pt)int[h(y)]dy}^2

Maar ik begrijp eigenlijk niet goed wat ik nu moet doen.
Is het de bedoeling dat ik moet laten zien dat K(t)-P(t) nul is?Als ik nu (3) en (4) ga integreren voor t is -oneindig naar oneindig, dan krijg ik K(t)en P(t).Als ik het verschil K(t)-P(t) bereken dan vallen gemeenschappelijke termen, zoals g'(x-t), weg.Ik houd over
g'(x-t)*g'(x+t) en {(p/px)int[h(y)]dy}^2
en +{(p/pt)int[h(y)]dy}^2.
Ik begrijp niet precies wat je bedoelt in de laatste regel.

Groetjes,

Viky

viky
13-11-2007

Antwoord

Je kunt u_x en u_t nog verder uitwerken door de hoofdstelling van de integraalrekening te gebruiken: kies een primitieve H van h en schrijf de integraal van h als H(x+t)-H(x-t); in u_x levert dat h(+t)-h(x-t) en in u_t komt er h(x+t)+h(x-t). Beide kwadraten hebben dezelfde (tien) termen; alleen de tekens verschillen bij de volgende vier: g'(x-t)g'(x+t), g'(x-t)h(x+t), g'(x+t)h(x-t) en h(x+t)h(x-t). Mijn laatste regel impliceert dat deze termen nul zijn als t=M; want dan x-t=-M of x+t=M.

kphart
18-11-2007