WisFaq!

Utiliteit maximaliseren, kosten minimaliseren

Beste wisfaq ik had eigenlijk twee vragen:

vraag 1
maximaliseer U(x,y)=xy+2x
beperkt door 2x+y=I
met x=0 en y=0

gevraagd is de engelcurve, term van x(I)
ik kom uit op:
x=1/4I+1/2 en y=1/2I-1 maar als ant in mij boek is dit alleen maar juist voor I2 ik zie hier geen verband in. behalve dan dat y=1/2I-1 hier I groter dan 2 moet zijn, maar hoe moet ik dan hier een vervolg formule berekenen?

vraag 2
minimaliseer C(x,y)=x^1/2 y^1/4
beperkt door p(L,K)=4x+3y=I
x=0 y=0

ook hier moet ik de engel curve berekenen, het schijnt x=1/6I en y=1/9I te zijn maar ik kom op x=9/4Öy³ en als ik dat substitueer in p(L,K) dan krijg ik iets van 9Öy³+3y=I maar ik krijg hier de y niet eruit, en het lijkt me ook niet de juiste antw

Bedankt voor het beantwoorden Mvg R

Ron
9-11-2007

Antwoord

Voor elke waarde van I vormt de beperkingsvergelijking een lijn in het xy-vlak. Op die lijn kun je y als functie van x schrijven en dus ook U. Vervolgens zoek je naar de x waarvoor U (op de lijn) maximaal is. Voor ieder I krijg je een oplossing.

Er zijn twee gangbare methodes:

Substitutie:
Op de lijn: y = I-2x
En dus: U = xy+2x=x(I-2x)+2x = -2x²+(I+2)x
maximum: afgeleide = -4x+I+2=0.
Dus: x = (I+2)/4 = I/4+1/2
En: y = I-2*(I/4+1/2)=I/2-1
Natuurlijk moet wel x,y0.
Voor I2 lukt zou y negatief worden. Het maximum is dan: y=0. Om x te vinden doe je: 0=I-2x, en dus x = I/2.
Voor I-4 vind je ook een ander oplossing.

Langrange multiplier:
De afgeleiden van xy+2x+l(2x+y-I) naar x,y en l moeten nul zijn.
(1) afgeleide naar x: y+2+2l = 0
(2) afgeleide naar y: x+l = 0
(3) afgeleide naar l: 2x+y-I=0
De eerste twee geven samen: (4)=(1)-2(2): y+2-2x=0
Vervolgens: (3)-(4): 4x-I-2=0 dus: x = (I+2)/4
En: (3)+(4); 2y-I+2=0 dus: y = (I-2)/2

De tweede gaat ook zo.

os
9-11-2007