WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Eigenwaarde bepalen

Geachte heer Dorissen,

Ik had inderdaad een teken over het hoofd gezien. De matrix moet zijn:

6 -2 -1
-2 6 -1
-1 -1 5

En hiervan heb ik ook de eigenwaarde van bepaald

Ik doe het volgende:
6-x -2 -1
-2 6-x -1
-1 -1 5-x

Na het schoonvegen heb ik
8-x 0 0
0 8-x -11+2x
-1 -2 5-x

De eigenwaarden kan ik hieruit halen:
(8-x)[(8-x)(5-x)-(22-4x)]=(8-x)(x-6)(x-3)
In het boek: -x³ +17x² -90x+144=-(x-8)(x-6)(x-3).
Dus deze klopt ook!!


Het kost me soms heel veel tijd om het stelsel dusdanig te reduceren zodat in een rij of kolom twee nullen aanwezig zijn…
Stel: ik heb het ene laatste gereduceerde stelsel van bovenstaand voorbeeld en ik zie niet welke mutatie ik nog moet uitvoeren om twee nullen op een rij of kolom te krijgen:
8-x 0 -11+2x
0 8-x -11+2x
-1 -2 5-x

Na wat rekenwerk kom ik op de karakteristieke vergelijking: -x³ +17x² -90x+144=
Hoe moet ik hier verder komen…… (hm… heb een dejavou…vraag 52864…)

Vraag 1:
moet ik ervan uit gaan dat er altijd twee nullen in een rij of kolom gemaakt moeten worden?

Vraag 2:
- indien de matrix en de karakteristieke vergelijking gegeven worden, hoe moet ik de laatste tot de haakjesvorm omzetten?
ik zou zeggen dat ik de vergelijking met breuksplitsing zo moet kunnen omvormen, maar ik weet niet hoe ik de termen ?? moet bepalen:

???/ -x³ +17x² -90x+144\


alvast bedankt voor de moeite,

mvg,

Carlos

carlos
7-11-2007

Antwoord

Beste Carlos,

Het is helemaal niet "verplicht" om in je determinant "nullen te maken". Alleen, dat maakt het rekenwerk gemakkelijker: zowel het ontwikkelen naar een rij of kolom (met veel nullen) gaat snel, als het vinden van de nulwaarden. Dit laatste lukt vaak gemakkelijker omdat je al een (gedeeltelijk) ontbonden vorm uitkomt.

Lukt het nullen maken niet of reken je de determinant direct uit zonder toepassing van eigenschappen, dan krijg je voor een 3x3-matrix een vergelijking van de derde graad. Deze moet je dan oplossen, bijvoorbeeld door te ontbinden in factoren (breuksplitsen is iets anders, hier is geen breuk).

Je gaat dan best op zoek naar één nulpunt (de gehele delers van de constante term zijn daarvoor kandidaten) en voert dan de deling uit, of bijvoorbeeld via het schema van Horner. Zo splits je een factor van de eerste graad af en de resterende factor is dan van de tweede graad, daarvoor heb je de abc-formule.

Over de genoemde methodes (ontbinden in factoren, deling van veeltermen, Horner, abc-formule) vind je veel uitleg in het WisFAQ-archief, als daar iets onduidelijk is. Gebruik dan onze zoekfunctie.

PS: "geachte heer Dorissen" is absoluut niet nodig...

mvg,
Tom

td
7-11-2007