WisFaq!

Orde symbolen

Hallo wisfaq,

Ik wil graag van de volgende stellingen aantonen of ze wel of niet waar zijn:

a)Als f(x)=O(x^a), dan f(x)=o(x^b) voor iedere ba

b)Als f(x)=O(g(x)), dan e^f=O(e^g)

c)ALs f(x)=O(m(x)) en g(x)=O(n(x)), dan f搽=O(m搖)

Ik gebruik de volgende definities voor het grote-orde symbool en het kleine-orde symbool,

Definitie1.f=O(g) als x-x₀ betekent dat er constanten k en x₁ bestaan (onafhankelijk van x) zodat

|f(x)|=k會g(x)| voor x₀ x x₁

Definitie2.f=o(g) als x-x₀ betekent dat er voor iedere positieve M er een x₂ bestaat (onafhankelijk van x) zodat

|f(x)|=M會g(x)| voor x₀ x x₂

Ik heb zelf het volgende,

a)Als f(x)=O(x^a), dan is er een k en x₁ zodat

|f(x)|=k會x^a| voor x₀ x x₁

en omdat |x^a||x^b| als ba hebben we dat

|f(x)|=k會x^a| k會x^b|

Nu weet ik niet hoe ik verder moet.

b)Als f(x)=O(g(x)), dan is er een k en x₁ zodat

|f(x)|=k會g(x)| voor x₀ x x₁

dus e^|f(x)|=e^k會g(x)|=(e^k)搪^|g(x)|=C搪^|g(x)|

en hieruit volgt dat |e^(f(x)|=C會e^(g(x)|

Is dit correct?

c)We hebben dat

|f(x)|=k會m(x)| en |g(x)|=j會n(x)|, dus

|f(x)搽(x)|=|f(x)|會g(x)|
=(k搜)會m(x)|會n(x)|
=(k搜)會m(x)搖(x)|

Is dit correct?

Groeten,

Viky

viky
7-11-2007

Antwoord

Je moet er wel telkens bij zeggen wat je x₀ is (die zo trouwens ook oneindig kunnen zijn).
In a) moet x₀=0 anders geldt de implicatie niet; gebruik dat de limiet van x^a/x^b voor x-0 gelijk is aan 0.
Regel b) klopt volgens mij niet. Neem weer x₀=0. Neem de functies f(x)=1/x-ln(x) en g(x)=1/x; omdat -ln(x)1/x op (0,1) volgt dat |f(x)|2|g(x)| op (0,1). Maar e^f(x)=(1/x)搪^1/x en e^g(x)=e^1/x; daaraan is zo te zien dat e^f niet O(e^g) is. De fout in jouw afleding zijn bij de tweede =, die geldt niet.
Deel c) is goed.

kphart
8-11-2007