WisFaq!

Re: De golfvergelijking: Behoud van energie

Hoi,

Ik schreef

u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x) 0xk, maar dat moet dus zijn

u(x,0)=g(x), u_t(x,0)=h(x) 0xk

Ik heb nog enkele vragen,

vraag1.Ik begrijp niet hoe uit het feit dat g en h compact support hebben volgt dat er zo een M bestaat zdd. |x|=M

vraag2.Ook begrijp ik niet hoe dan uit de formule van d'Alembert volgt dat u(x,t)=0 onder die lijnen.

vraag3.Met het eerdere resultaat toepassen op |x|=M+K bedoelt u dat ik

0=int[u_tt-(c²)u_xx)u_t]dx
=¹/₂(d/dt)int[u_t²(x,t)+(c²)u_x²(x,t)]dx
-(c²)u_x(k,t)·u_t(k,t)+(c²)u_x(0,t)u_t(0,t)
=dE/dt

moet toepassen op de strook |x|=M+K?Dan lopen de integralen van -M-K tot M+K, en daarna moet ik K naar oneindig laten lopen?

vraag4.Waar gebruik ik dat g=h=0 als |x|=M en dat u(x,t)=0 onder die lijnen?

Je schreef E(t)=P(t) maar het moet zijn K(t)=P(t) voor t naar oneindig.

Groetjes,

Viky

viky
6-11-2007

Antwoord

1. Compact betekent, in R, gesloten en begrensd; er is dus een M zo dat voor alle x-en met g(x)!=0 of h(x)!=0 geldt |x|M.
2. Onder de lijn t=x-M geldt t-x-M en x+tM; onder de lijn t=-x-M geldt t+x-M en t-x-M. Als dus dergelijke punten in de formules van d'Alembert invult komt er nul uit.
3. Klopt en omdat u onder de lijnen nul is zijn de integralen van -M-K tot M+K en die van -oneindig tot oneindig aan elkaar gelijk.
4. Zie punten 2 en 3 hierboven.
Over K(t)=P(t): dat had ik verkeerd overgenomen. Schrijf de formules van d'Alemnert uit en bereken u_t en u_x en schrijf hun kwadraten helemaal uit. De termen die niet overeenkomen zijn nul voor tM: gebruik daarbij dat |t-x|M of |t+x|M voor elke x.

kphart
10-11-2007