WisFaq!

Eigenwaarde bepalen

beste wisfaq,

ik heb de volgende matrix:

4 -1 6
2 1 6
2 -1 8

voor deze matrix wil ik de eigenwaarden en de bases voor de eigenvectoren bepalen.
Voor de eigenwaarden los ik A-lI op

4-l -1 6
2 1-l 6
2 -1 8-l

na schoonvegen krijg ik:
2-l 0 0
2 3-l 6
2 1 8-l

ik ontwikkel het stelsel naar de eerste rij:
(2-l)·[(3-l)·(3-l)-(6·1)]=
-(2-l)²(l-9)
De eigenwaarden van het stelsel zijn 2 en 9.

De basis voor l=2, bij het invullen en schoonvegen van het stelsel krijg ik:

4-2 -1 6 2 -1 6
2 1-2 6 na schoonvegen krijg ik 0 0 0
2 -1 8-2 0 0 0

er zijn twee vrije variabelen, dus de bases voor de eigenruimte bestaat:
basis is dan ( ¹/₂ 1 0), (-3 0 1).

Voor l=9
4-9 -1 6 -5 -1 6 5 -1 6 0 3,5 4,5 0 0 8
2 1-9 6 = 2 -8 6 ~ 0 -7 7 ~ 0 -1 1 ~ 0 -1 1
2 -1 8-9 2 -1 -1 2 -1 -1 2 -2 0 2 -2 8

er is dus geen vrije variabele te vinden in de gereduceerde stelsel......?!?! betekent dit dat 9 dus geen eigenvector is? of heb ik ergens een rekenfout gemaakt?

alvast bedankt.

mvg,

Carlos

carlos
4-11-2007

Antwoord

Beste Carlos,

De eigenvectoren die je bij l=2 vond, zijn correct.
Voor l=9, is je berekening niet zo duidelijk...

Als ik de matrix reduceer, vind ik uiteindelijk:



Dus x = z en y = z, met andere woorden (1,1,1) is een eigenvector.

PS: het is niet mogelijk dat je bij een enkelvoudige eigenwaarde (multipliciteit 1) geen eigenvector vindt. Bij meervoudige eigenwaarden (multipliciteit k 1) is het wel mogelijk dat je geen k lineair onafhankelijk eigenvectoren vindt.

mvg,
Tom

td
5-11-2007