WisFaq!

Een lijn snijden met een ellips

De rechte M:y=0,8*x is een middellijn van de ellips :
E:9*x^2 + 25*y^2 = 225
alle rechten , evenwijdig met M , hebben een vergelijking van de vorm y = 0,8·x + q
Bereken voor welke waarden van q de rechte y=0,8·x +q de ellips E snijdt.

dus dat lukt.
dan bekom ik na oplossen van een stelsel : -5 <= q <= 5
tussen q ligt tussen - 5 en + 5.

maar de volgende vraag kan ik niet , of weet ik toch niet , welke oplossingsmethode te gebruiken .

vraag : Bereken voor deze waarden van q de middens van de afgesneden koorden. Toon aan dat deze middens op een rechte M' liggen en geef ook de vergelijking van M' .

de oplossingen van het boek zijn : m(-4*q/5,9*q/5)
en
M'<->y = -9/20*x

maar ik weet nie hoe ik moet komen aan deze twee m's ...
kan iemad mij soms helpen ?
alvast bedankt

Benjamin
10-11-2002

Antwoord

Hoi,

Je hebt een rechte met vergelijking y=0.8x+q (1) en een ellips met vergelijking 9x²+25y²=225 (2).

Als je (1) in (2) stopt, krijg je een 2de graadsvergelijking in x: 25x²-40q.x+(25q²-225). Wanneer de discriminant D(q)=22500-900q²0, krijg je reële snijpunten. Dit bepaalt je voorwaarden voor q: -5q5.
Als je nu verder rekent dan vind je de coördinaten van die snijpunten in functie van q: s₁(-4q/5+sqrt(D(q))/5, 9q/25+4.sqrt(D(q))/25) en s₂(-4q/5-sqrt(D(q))/5, 9q/25-4sqrt(D(q))/25)

Het midden m van [s₁s₂] heeft dus als coördinaten: (-4q/5,9q/25) (tikfout in je vraag..).
We hebben dus een parametrische voorstelling voor m in functie van q:
x=-4q/5
y=9q/25
En na eliminatie van q:
y=-9x/20

Groetjes,
Johan

andros
10-11-2002