WisFaq!

Re: Diagonaliseren matrices

Beste wisfaq,
dit methode werkt heel efficient voor een 2x2 matrix....
ik heb een 5x5 matrix, maar als ik de eigenwaarden probeer te vinden is het zoveel rekenwerk dat ik niet uitkom...

mijn matrix ziet er als volg uit:
1 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 2 1 1
0 0 2 3 2
0 0 1 1 2

de tweede positie van de eerste rij kan nul worden gemaakt door -r2 +r1.

de hoofddiagonaal kan worden voorzien van een -l (verder als w genoemd)

2-w 1 1
det A-wI=(1-w)² det 2 3-w 2
1 1 2-w

ontwikkelen naar de eerste rij geeft:
(1-w)²=[(2-w){3-w)(2-w)-2}-{4-2w-2}+{2-(3-w)}]
(1-w)²={(2-w){w²-5w+4}-2-2w+w-1
als ik dit verder uitwerk... wordt het antwoord alleen maar langer en langer....kan ik het eigenwaarde op een efficientere manier bepalen?

grt,

Carlos

carlos
31-10-2007

Antwoord

Beste Carlos,

Je kan twee keer ontwikkelen naar de eerste kolom, buiten (1-l) staan er dan telkens enkel nullen. Je vindt op die manier (1-l)², vermenigvuldigd met de 3x3-determinant die je onderaan rechts verkrijgt.

Kan je aan de hand van eigenschappen die determinant nog vereenvoudigen? Eventueel gewoon uitwerken, je zou moeten vinden:

-l³+7l²-11l+5

Dat kan je opnieuw ontbinden in (5-l)(1-l)².
Dus uiteindelijk op te lossen: (5-l)(1-l)⁴ = 0.

mvg,
Tom

td
1-11-2007