WisFaq!

Oppervlakte overlap tussen drie cirkels

Hallo
Ik heb hieronder een vraag die ik moet snappen voor mijn proefwerk wiskunde, maar ik weet niet hoe ik moet beginnen.

Gegeven zijn drie cirkels met straal 2. Elk van de drie gaat door de middelpunten van de andere twee.
Bereken de oppervlakte van de gemeenschappelijke doorsnede.



Ik weet dat de opp formule van een cirkel=pr²
dus 2·2·p = 4p, dus de opp van de drie cirkels samen is 12 p
en nu moet er nog die drie stukken af.
Maar hoe moet dit en is dit de goede manier?

Alvast bedankt

Marieke
31-10-2007

Antwoord

Dag Marieke,

Ik denk niet dat je de oppervlakteformule van de cirkel kan gebruiken. Je zou dit kunnen oplossen zonder al te veel redeneren, maar met veel rekenwerk: voer coördinaten in (leg bijvoorbeeld een middelpunt in (0,0) en een ander in (2,0), vind het derde middelpunt, stel de vergelijkingen op van al die cirkelbogen die de randen zijn van het gezochte oppervlak, en integreer. Zoals gezegd: veel werk.

Het kan korter: zonder al te veel moeite herken je in de figuur een driehoek. Wat is er speciaal aan die driehoek? Wat zijn zijn afmetingen? En kan je daarmee zijn oppervlakte bepalen? Goed, wat schiet er dan nog over: dat zijn drie even grote cirkelsegmentjes. En als je de openingshoek (of middelpuntshoek) daarvan kent, dan kan je de oppervlakte ervan bepalen! Zie bijvoorbeeld deze link En die openingshoek ken je als je de voorgaande vragen (over die driehoek) correct hebt beantwoord...

Als je dit allemaal juist uitvoert, zou je volgens mij moeten komen op een oppervlakte van 2(p-Ö3) en dat is ongeveer 2.82, dus iets minder dan een kwart van één cirkel, als ik eens naar de figuur kijk kan dat wel ongeveer kloppen...

Groeten,
Christophe.

NB: medebeantwoorder Martijn merkt terecht op dat je het ook als volgt kan doen: neem drie keer een zesde van de cirkel: dan heb je drie keer je driehoek genomen, plus drie keer één segmentje, dus moet je er nog twee keer die driehoek van aftrekken, en je krijgt hetzelfde resultaat zonder dat je de oppervlakteformule van een cirkelsegment moet gebruiken.

Christophe
31-10-2007