WisFaq!

De golfvergelijking: Behoud van energie

Hallo wisfaq,

Ik heb het volgende beginwaardeprobleem van de golfvergelijking in één dimensie.Laat u in C^2(R) (R de reële getallen)

u_tt-u_xx=0 in R*(0,oneindig)
u=g, u_t=h op R*{t=0}

Stel g en h hebben compact support.

De kinetische energie is K(t)=(1/2)int[(u_t)^2(x,t)]dx

De potentiele energie is P(t)=(1/2)int[(c^2)*(u_x)^2(x,t)]dx

De intgralen lopen van -oneind. naar oneind.

Ik wil graag de volgende twee punten bewijzen,

(i)E(t)=K(t)+P(t) is een constante
(ii)K(t)=P(t) voor t groot genoeg.

Nu heb ik de oplossing van het probleem maar dat als de intgralen van 0 tot k lopen, het probleem ziet er dan ietsjes anders uit:

(a)Ik heb een gebied A={(x,t) : 0xk, 0toneindig}

(b)Het probleem is als volgt
u_tt-(c^2)*u_xx=0 0xk, t0
u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x) 0xk
u(0,t)=u(k,t)=0 t=0

(c)Alle integralen lopen van 0 tot k.

Ik heb de volgende theorie met bewijs

Theorie.
Als u in C^2(R) een oplossing is van het bovengenoemde probleem, dan is de energie E(t) een constante E(t)=E(0).

Mijn vraag is of ik het oorspronkelijke probleem, waarbij de integralen dus lopen van -oneind. naar oneind., kan oplossen door het bewijs van de bovengenoemde theorie enigszinds aan te passen.En ik begrijp niet hoe ik punt (ii) moet bewijzen.

Bewijs van de theorie
Vermenigvuldig de vergelijking met u_t door gebruik te maken van de volgende identiteiten

(notatie: ik schrijf p/pt en p/px voor de partiële afgeleide naar t, resp. x, en (u_t)^2 schrijf is als u_t^2)

(1)u_t*u_tt=(1/2)p/pt[u_t^2]

(2)u_t*u_xx=(p/pt)(u_x*u_t)-(1/2)(p/pt)[u_x^2]


intergration by parts geeft (alle integralen lopen van 0 tot k)

0=int[u_tt-(c^2)u_xx)u_t]dx
=(1/2)(d/dt)int[u_t^2(x,t)+(c^2)u_x^2(x,t)]dx
-(c^2)u_x(k,t)*u_t(k,t)+(c^2)u_x(0,t)u_t(0,t)
=dE/dt

Dus voor t0

E(t)=E(0)(1/2)int[u_t^2(x,0)+(c^2)u_x^2(x,0)]dx
=(1/2)int[g(x)^2+(c^2)f'(x)^2]dx

Dus de energie blijft behouden.
QED

Groetjes,

Viky

viky
30-10-2007

Antwoord

Omdat de dragers van g en h compact zijn kun je een M vastleggen zo dat g(x)=h(x)=0 als |x|M. Met behulp van de formules van d'Alembert (zie link hieronder) volgt dan dat u(x,t)=0 onder de lijnen t=x-M en t=-x-M (teken een plaatje). Om nu te bewijzen dat E(t)=0 voor 0tK pas je het eerdere resultaat toe op de strook bepaald door |x|M+K. Dit kun je doen voor elke K, dus E(t)=0 voor alle t.
Wat de gelijkheid E(t)=P(t) betreft: ik betwijfel of dat letterlijk zo zal zijn; ik vermoed dat men bedoelt dat lim K(t)=0 voor t naar oneindig. Uit de formules van d'Alembert blijkt dat echter niet.

Zie Formule van d'Alembert (Wikipedia) [http://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula]

kphart
2-11-2007