WisFaq!

Bewijs dmv inductie

Gegeven: n is een natuurlijk getal en a is een getal bestaande uit 3ⁿ cijfers (bijvoorbeeld als n=1: 222, 555).
Te bewijzen: a is deelbaar door 3ⁿ.
Hoe bewijs ik dit?
Bedankt!

Mark
29-10-2007

Antwoord

Al die getallen zijn van de vorm m.(111...111)=m.(1/9)(10^(3^n)-1). We proberen te bewijzen dat (1/9)(10^(3^n)-1) deelbaar is door 3^n.

Stel dat die stelling klopt voor n=k, bekijk dan eens de volgende uitdrukking:

(1/9)(10^(3^(k+1)-1)
=(1/9)((10^(3^k))^3-1)
=(1/9)[10^(3^k)-1][(10^(3^k))^2+10^(3^k)+1]

De eerste factor is dan deelbaar door 3^k. Waarom is de tweede factor deelbaar door een extra 3? Maak je het bewijs zelf af?

cl
30-10-2007