WisFaq!

Boom van Pythagoras

Hallo,
Ik moest voor seminarie-wiskunde een werk maken over Fractalen. Ik heb ook een deel dat 'de boom van Pythagoras' behandeld, maar daar heb ik een vraag bij.
Er wordt gezegd op verschillende sites dat , wanneer je een iteratie blijft uitvoeren, de boom maximaal 4 keer zo hoog en zes keer zo breed kan worden dan de zijde van het oorspronkelijke vierkant. Dit kan je ook uitrekenen adhv een rij. Voor de hoogte heb ik reeds de rij gevonden, en de somformule ervoor komt ook uit,nl:

bv. Voor n=20 wordt dit:

s20= 2. (1.1-¹/₂²⁰)/1-(1-2) = 3.99999618… - het nadert dus tot 4.

Nu is mijn vraag, welke rij moet je dan gebruiken om voor de breedte aan 6 te komen? Ik had deze formule eerst gebruikt, maar daar kom ik steeds aan 3 :

Voor n=20 wordt dit:

s20= 2.(1.1-1/3²⁰) = 2.99999999…
1-1/3

Zou jij me kunnen helpen aub?

Elke Ledegen
27-10-2007

Antwoord

Beste Elke,

De Pythagoras-boom is symmetrisch, vandaar dat ik alleen even de linkerkant in beschouwing neem (de totale breedte is dan gewoon het dubbele).



Je ziet dat de breedte te berekenen valt door achtereenvolgens diagonaal + zijde + diagonaal enz. bij elkaar op te tellen.
De vierkanten zijn allemaal gelijkvormig. De rode diagonaal is de diagonaal die bij het vierkant met zijdelengte ¹/₂·$\sqrt{ }$2 hoort (want je beginvierkant is 1 bij 1, en door de gelijkvormigheid is zijde_{volgende vierkant} = zijde_{vorige vierkant}·¹/₂$\sqrt{ }$2 (Stel. van Pyth.))
Dus de lengte van de rode diagonaal is $\sqrt{ }$2·(¹/₂·$\sqrt{ }$2) want de diagonaal in een vierkant is $\sqrt{ }$2·zijde van vierkant (wederom Pyth.).

De lengte van de gele zijde is (¹/₂$\sqrt{ }$2)² want het vorige vierkant had zijdelengte ¹/₂$\sqrt{ }$2 en de vergrotingsfactor is ¹/₂$\sqrt{ }$2.

De blauwe diagonaal heeft als lengte $\sqrt{ }$2·(¹/₂$\sqrt{ }$2)³, want de zijdelengte van het vierkant is (¹/₂$\sqrt{ }$2)³ en diagonaal = $\sqrt{ }$2·zijdelengte.

Als je hiermee doorgaat krijg je



Je zou ook de som kunnen uitschrijven (dan zie je ook dat de lengte van de diagonaal van het volgende vierkant, de zijdelengte van het vorige vierkant is!), dan krijg je halve breedte = 1 + ½ + ½ + ¼ + ¼ + ... en dan zie je dat er halve breedte = 1 + 2·(½ + ¼ + ...) staat oftewel halve breedte = 1 + 2·(^½/_(1-½)) = 3.

Dus de totale breedte is 2·3 = 6.

Groetjes,

Davy.

Davy
27-10-2007