WisFaq!

Poisson Verdeling

Hoi Wisfaq,

Ik zit met de volgende vraag:

Een berghut is beschikbaar voor wanderlaars in de nacht maar alleen mensen met een sleutel kunnen de hut openen. Mensen zonder sleutel kunnen wel naar de hut toegaan in de hoop dat een sleutelhouder hen naar binnen laat. Dus, voor een willekeurige nacht, als er tenminste een sleutelhouder is kan iedereen die bij de hut komt naar binnen, anders kan niemand in de hut.

We nemen nu aan dat de sleutelhouders willekeurig bij de hut aankomen volgens een poissonverdeling met gemiddelde A. Daarnaast nemen we aan dat de mensen zonder sleutel bij de hut aankomen volgens een poissonverdeling met gemiddelde B en dat dit onafhankelijk is van de sleutelhouders.

De vraag is nu:
Laat X het aantal mensen in de hut zijn (in een willekeurige nacht). Ik moet nu een uitdrukking vinden dat u sleutelhouders en v niet sleutelhouders zich in de hut bevinden, waar u 0.

Wat ik tot zover heb gedaan (en wat ik niet begrijp):

Laat V = # sleutelhouders: V ~ Poi(A)
Laat U = # niet sleutelhouders: U ~ Poi(B)

We willen nu dus P(U=u en V=v). Omdat U en V onafhankelijk zijn hebben we:

P(U=u en V=v) = [(e^(-A)*(A)^u)/u!]*[(e^(-B)*(B)^v)/v!]

Het probleem is nu die k0. Ik zou zeggen dat ik de bovenstaande expressie moet 'corrigeren' omdat de situatie 0 sleutelhouders en v niet sleutelhouders niet goed is. Dus moeten we van de bovenstaande expressie nog aftrekken:

e^(A) * [(e^(-B)*(B)^v)/v!]

(dat is gevonden door 0 in de bovenstaande expressie in te voeren). Ik vraag me nu dus af welke van de twee antwoorden correct is: de eerste uitdrukking IN COMBINATIE MET het vereiste dat u 0 of de gecorrigeerde uitdrukking?

In onderdeel (b) van de vraag moet ik nu aantonen dat, als X het totaal aantal mensen in de hut is, een geschikte sommatie leidt tot:

P(X=n) = ([(A+B)^n - B^n)]/n!)*e^(-A-B)

Om dit op te lossen schrijf ik nu eerst v = n - u
en dat substitueer ik in de (al dan niet gecorrigeerde) vergelijking.

Het totaal aantal n mensen kan verdeeld worden als 0 sleutelhouders (in de gecorrigeerde uitdrukking) en n niet sleutelhouders, 1 sleutelhouder en n-1 niet sleutelhouders. Dus ik ga de (al dan niet gecorrigeerde uitdrukking) sommeren van 0 tot n. Als ik de niet gecorrigeerde uitdrukking neem, moet ik wel op dit moment gaan corrigeren omdat ik nu van 0 tot n sommeer.

Echter als ik de eerder gecorrigeerde uitdrukking gebruik kom ik nu een beetje in de problemen omdat ik dit niet tot de gewenste vorm weet te herleiden.

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen

Vriendelijke groet,

Herman

Herman de Vries
27-10-2007

Antwoord

Herman,
Wat u precies is ,is uit het verhaal niet duidelijk.Eerst zeg je dat u=sleutelhouder en vervolgens U= niet sleutelhouder.
Als ik het goed begrijp gaat het om het volgende:Als X=U+V,bereken
P(X=n,U0).Dit gaat als volgt:P(X=n,U0)=å(j=1totn)P(U=j)P(V=n-j)=
e^-(A+B)/n!å(j=1totn)(nbovenj)B^jA^(n-j).Als j zou lopen van 0 naar n dan is de som gelijk aan (A+B)^n,dus j=0 er van af trekken dus A^n.

kn
28-10-2007