WisFaq!

Derdegraads vergelijking oplossen

Hoe los ik de volgende vergelijking op want ik kom er maar niet uit.. ik heb het met een staartdeling geprobeerd en aan elkaar gelijk stellen maar het wil maar niet lukken.
Ik wil de nulpunten weten van deze vergelijking en volgens Derive (wiskundeprogramma) moet er -4 en -3 uitkomen.

(6x³+72x²+282x+360)/(x³+3x²-45x-175)=0

Alvast bedankt

Robin van den Dungen
27-10-2007

Antwoord

Dag Robin,

Je moet kijken wanneer de breuk gelijk is aan nul. Een breuk is nul als zijn teller nul is (en zijn noemer verschilt van nul). Dus met de noemer moet je eigenlijk niks doen: je hebt enkel de nulpunten van de teller nodig, en dan kan je die achteraf in je noemer invullen om te zien of je niet per ongeluk daar ook een nul krijgt.

Wat die teller betreft: als je nog een factor 6 afzondert ben je dus geïnteresseerd in de nulpunten van x³+12x²+47x+60.

Je zou dit eventueel met de formule van Cardano kunnen aanpakken, maar dat is altijd veel werk, dus kan je beter eens proberen om 'op het zicht' nulpunten te vinden.

Nu is het altijd zo, dat als je een veelterm hebt waarvan de hoogste macht als coëfficiënt 1 heeft, en alle coëfficiënten zijn gehele getallen, dat de gehele nulpunten van deze veelterm dan delers zijn van je constante term. Hier hebben we 1·x³ als hoogstegraadsterm en 60 als constante term. Dus de enige gehele getallen die een nulpunt zouden kunnen zijn, zijn 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 en diezelfde getallen met een minteken.

Dat zijn er hier dus vrij veel die je moet nagaan, al zie je natuurlijk op het zicht dat als je een positief getal invult, je een som krijgt van allemaal positieve getallen, wat dus nooit nul kan zijn. Begin dus met je negatieve getallen, er blijkt al snel dat x=-3 inderdaad een oplossing is. En eens je één oplossing hebt, kan je deze factor (x+3) wegdelen met een staartdeling waarna je slechts een kwadratische veelterm meer overhoudt, die je met de abc-formule kan oplossen. Of je blijft natuurlijk gewoon verder zoeken, dan kom je ook al snel uit op de andere nulpunten x=-4 en x=-5.

Invullen in je noemer maakt echter duidelijk dat x=-5 ook een nulpunt van de noemer is, dat betekent dus dat je zowel in teller als in noemer een factor (x+5) kan wegdelen, en zo bekom je dus inderdaad het resultaat dat -3 en -4 de enige oplossingen zijn van je vergelijking.

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-10-2007