WisFaq!

Re: Vlak door 3 punten bepalen

Hallo Christophe,

Kun je me nog eens uitleggen hoe je een vectorproduct maakt van de richtingsvectoren, zijnde (5,7,3) en (3,5,8).
Hoe bereik je dit resultaat(41,-31,4)?
IK begrijp de laatste paragraaf van uw tekst niet zo best...
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
26-10-2007

Antwoord

Dag Rik,

Als je twee drietallen hebt kan je daar twee soorten producten mee maken:
1. Het inproduct of scalair product: (a,b,c)·(d,e,f)=ad+be+cf.
2. Het vectorproduct, dat is wat je hier nodig hebt.

Om dat vectorproduct (a,b,c)x(d,e,f) te berekenen, ga je als volgt te werk: maak een determinant met op de eerste rij de drie eenheidsvectoren (vaak genoteerd als i, j en k, met een pijltje erboven om aan te geven dat het om vectoren gaat).

Op de tweede rij staat je eerste vector, in ons geval dus (a,b,c) en in het voorbeeld (5,7,3); op de derde rij staat je tweede vector (d,e,f), in het voorbeeld dus (3,5,8).

En dan bereken je de determinant, de meest logische manier is om die te ontwikkelen naar de eerste rij (omdat je dan meteen een uitdrukking krijgt van de vorm "een aantal keer i, plus een aantal keer j, plus een aantal keer k).

Hier krijgen we dus:

det(
/ i j k \
| 5 7 3 |
\ 3 5 8 /
)

= i·(7·8-3·5) - j·(5·8-3·3) + k·(5·5-7·3)
= 41i - 31j + 4k
= (41,-31,4).

Ik berekende hier de determinant door te ontwikkelen naar de eerste rij. Als dat niet meteen een belletje doet rinkelen, hier nog even een korte herhaling:

Om een determinant te berekenen, kies een rij of kolom. Hier koos ik de eerste rij.

Voor elk element op die rij (bv. het element i): schrap in gedachten de rij en de kolom waar dat element op staat. Bereken dan de determinant van hetgeen wat overblijft. Wat overblijft is een 2·2-matrix, waarvan je makkelijk de determinant kan berekenen (algemeen: de determinant van de matrix
a b
c d
is de uitdrukking ad-bc).

Dat doe je dus voor elk element van de rij (dus ook nog eens voor j en voor k), en telkens vermenigvuldig je het element (dus i resp. j resp. k) met de bijhorende 2·2-determinant. Nog één belangrijk detail: soms heb je een plusteken nodig, soms een minteken. Daarvoor kijk je op welke positie het element staat. Bv het element i staat op positie (1,1) in de matrix, 1+1=2 is even, dus die heeft een plusteken nodig. Het element j staat op positie (1,2) in de matrix, 1+2=3 is oneven, dus daar hebben we een minteken nodig. En k staat op plek (1,3) met 1+3=4 is even, dus die heeft een plusteken nodig. Alles optellen en je bent er. Zo kwam ik aan die
i·(7·8-3·5) - j·(5·8-3·3) + k·(5·5-7·3).

Als die berekening van determinanten nieuw is voor je, probeer deze determinant dan ook eens te ontwikkelen naar bv. de tweede kolom of zo, je zou hetzelfde resultaat moeten uitkomen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-10-2007