WisFaq!

Verschil tussen lengte lijnstuk integreren en pythagoras

Hier het volgende:

lengte van een lijnstuk berekenen:

Zie het lijnstuk gegeven door de formule y=-(a/b)x+a (tussen x=0 en x=b)

De lengte is simpel te berekenen door gebruik van de formule van pythagoras: L = sqrt(a^2 + b^2)

Maar kan het ook door te integreren???

Stel ik benader de lijn door een trappetje.

De lengte van één 'tree' is dx + dy = dx + dx (dy/dx) = dx + dx [ -(a/b) ] = dx - dx (a/b) = dx [ 1 - (a/b) ]

Integreren van x = 0 tot x = b geeft:

[ 1 - (a/b) ] b = b - a

Hier gaat iets verschrikkelijk fout...

Blijkbaar mag ik de benadering van de trap niet toepassen, maar waarom niet?

Bij het gebruik van infinitesimale traptreden (in de limiet van dx -- 0 ) valt toch de trap gelijk met de lijn?

Wie helpt mij?

Werner de Groot
23-10-2007

Antwoord

Van waar de bewering "Bij het gebruik van infinitesimale traptreden (in de limiet van dx -- 0 ) valt toch de trap gelijk met de lijn?" ? Teken zo een trede en verklein dx. Het driehoekje dat je zo bekomt is gelijkvormig met het oorspronkelijke driehoekje, dus de verhouding van L' tot dx'+dy' is dezelfde als die van L tot dx+dy. Met andere woorden, je blijft er dezelfde factor naast zitten, je benadering "verbetert" niet. Dat zie je trouwens ook aan je uitkomst: je blijft de volledige lengte benaderen door een grote trede.

cl
24-10-2007