WisFaq!

Formule voor rij aantonen

Hallo,

Ik zit met een vraagstuk over rijen en reeksen en ik weet niet hoe ik dit moet aanpakken. Het vraagstuk gaat als volgt:

Gegeven is:

p_(3n) = p_(3n-1)+p_(3n-2)
p_(3n+1) = 2n*p_(3n) + p_(3n-1)
p_(3n+2) = p_(3n+1) + p_(3n)
p_0 = 1
p_1 = 1
p_2 = 2

q_(3n) = q_(3n-1)+q_(3n-2)
q_(3n+1) = 2n*q_(3n) + q_(3n-1)
q_(3n+2) = q_(3n+1) + q_(3n)
q_0 = 1
q_1 = 0
q_2 = 1

x_(3n) = x_(3n-1)+x_(3n-2)
x_(3n+1) = 2n*x_(3n) + x_(3n-1)
x_(3n+2) = x_(3n+1) + x_(3n)

Verder is gegeven dat u_n een oplossing is voor x_n en dat u_0 = 1-e en u_1 = 1

Ik moet nu bewijzen dat u_n = p_n - e*q_n

Tot dusver heb ik het volgende weten te bewerkstelligen (helaas niet zo veel):

Aangezien u_n een oplossing is voor x_n volgt er dat u_n ook aan deze recursieve relaties voldoet. Ik wil nu met inductie de stelling bewijzen maar dat lukt me niet. Ik hoop dat jullie me kunnen helpen.

Alvast bedankt,

Emily

Emily Jansen
23-10-2007

Antwoord

Het is een lineaire drietermsrecursie; een oplossing ligt vast zodra je zijn eerste drie waarden weet. Het door jouw genoemde probleem geeft alleen de eerste twee beginwaarden en da betekent dat je niet kunt bewijzen dat u_n=p_n-e*q_n, omdat je geen eis aan u_2 hebt opgelegd. Zodra je eist dat u_2=2-2e ligt u_n vast en moet hij op grond van de theorie gelijk zijn aan p_n-e*q_n.

kphart
23-10-2007